Cálculo Exemplos

$\int \frac{2 x^{2} e^{5 x^{3} + 1}}{3 - e^{5 x^{3} + 1}} d x$

Etapa 1

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int \frac{x^{2} e^{5 x^{3} + 1}}{3 - e^{5 x^{3} + 1}} d x$

Etapa 2

Deixe $u_{1} = 5 x^{3} + 1$ . Depois, $d u_{1} = 15 x^{2} d x$ , então, $\frac{1}{15} d u_{1} = x^{2} d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u_{1} = 5 x^{3} + 1$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $5 x^{3} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{3} + 1]$

Etapa 2.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x^{3} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [5 x^{3}]$ .

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Etapa 2.1.3.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{3}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.1.3.3

Multiplique $3$ por $5$ .

$15 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.1.4.1

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$15 x^{2} + 0$

Etapa 2.1.4.2

Some $15 x^{2}$ e $0$ .

$15 x^{2}$

Etapa 2.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$2 \int \frac{e^{u_{1}}}{3 - e^{u_{1}}} \cdot \frac{1}{15} d u_{1}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Multiplique $\frac{e^{u_{1}}}{3 - e^{u_{1}}}$ por $\frac{1}{15}$ .

$2 \int \frac{e^{u_{1}}}{(3 - e^{u_{1}}) \cdot 15} d u_{1}$

Etapa 3.2

Mova $15$ para a esquerda de $3 - e^{u_{1}}$ .

$2 \int \frac{e^{u_{1}}}{15 (3 - e^{u_{1}})} d u_{1}$

Etapa 4

Como $\frac{1}{15}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{15}$ para fora da integral.

$2 (\frac{1}{15} \int \frac{e^{u_{1}}}{3 - e^{u_{1}}} d u_{1})$

Etapa 5

Combine $\frac{1}{15}$ e $2$ .

$\frac{2}{15} \int \frac{e^{u_{1}}}{3 - e^{u_{1}}} d u_{1}$

Etapa 6

Deixe $u_{2} = 3 - e^{u_{1}}$ . Depois, $d u_{2} = - e^{u_{1}} d u_{1}$ , então, $- \frac{1}{e^{u_{1}}} d u_{2} = d u_{1}$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 6.1

Deixe $u_{2} = 3 - e^{u_{1}}$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Etapa 6.1.1

Diferencie $3 - e^{u_{1}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [3 - e^{u_{1}}]$

Etapa 6.1.2

Diferencie.

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Etapa 6.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 - e^{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $\frac{d}{d u_{1}} [3] + \frac{d}{d u_{1}} [- e^{u_{1}}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [3] + \frac{d}{d u_{1}} [- e^{u_{1}}]$

Etapa 6.1.2.2

Como $3$ é constante em relação a $u_{1}$ , a derivada de $3$ em relação a $u_{1}$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [- e^{u_{1}}]$

Etapa 6.1.3

Avalie $\frac{d}{d u_{1}} [- e^{u_{1}}]$ .

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Etapa 6.1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $u_{1}$ , a derivada de $- e^{u_{1}}$ em relação a $u_{1}$ é $- \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}]$ .

$0 - \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}]$

Etapa 6.1.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$0 - e^{u_{1}}$

Etapa 6.1.4

Subtraia $e^{u_{1}}$ de $0$ .

$- e^{u_{1}}$

Etapa 6.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{2}{15} \int \frac{- 1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{2}{15} \int - \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 8

Como $- 1$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{2}{15} (- \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Etapa 9

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{2}{15} (- (\ln (| u_{2} |) + C))$

Etapa 10

Simplifique.

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Etapa 10.1

Simplifique.

$\frac{2}{15} (- \ln (| u_{2} |)) + C$

Etapa 10.2

Combine $\frac{2}{15}$ e $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \frac{2 \ln (| u_{2} |)}{15} + C$

Etapa 11

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 11.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $3 - e^{u_{1}}$ .

$- \frac{2 \ln (| 3 - e^{u_{1}} |)}{15} + C$

Etapa 11.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $5 x^{3} + 1$ .

$- \frac{2 \ln (| 3 - e^{5 x^{3} + 1} |)}{15} + C$

Etapa 12

Reordene os termos.

$- \frac{2}{15} \ln (| 3 - e^{5 x^{3} + 1} |) + C$