Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} {(2 - e^{\frac{x}{2}})}^{\frac{4}{x}}$

Etapa 1

Use as propriedades dos logaritmos para simplificar o limite.

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Etapa 1.1

Reescreva ${(2 - e^{\frac{x}{2}})}^{\frac{4}{x}}$ como $e^{\ln ({(2 - e^{\frac{x}{2}})}^{\frac{4}{x}})}$ .

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({(2 - e^{\frac{x}{2}})}^{\frac{4}{x}})}$

Etapa 1.2

Expanda $\ln ({(2 - e^{\frac{x}{2}})}^{\frac{4}{x}})$ movendo $\frac{4}{x}$ para fora do logaritmo.

$lim_{x \to 0} e^{\frac{4}{x} \ln (2 - e^{\frac{x}{2}})}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Mova o limite para o expoente.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{4}{x} \ln (2 - e^{\frac{x}{2}})}$

Etapa 2.2

Combine $\frac{4}{x}$ e $\ln (2 - e^{\frac{x}{2}})$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{4 \ln (2 - e^{\frac{x}{2}})}{x}}$

Etapa 2.3

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$e^{4 lim_{x \to 0} \frac{\ln (2 - e^{\frac{x}{2}})}{x}}$

Etapa 3

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 3.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 3.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$e^{4 \frac{lim_{x \to 0} \ln (2 - e^{\frac{x}{2}})}{lim_{x \to 0} x}}$

Etapa 3.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 3.1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 3.1.2.1.1

Mova o limite para dentro do logaritmo.

$e^{4 \frac{\ln (lim_{x \to 0} 2 - e^{\frac{x}{2}})}{lim_{x \to 0} x}}$

Etapa 3.1.2.1.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$e^{4 \frac{\ln (lim_{x \to 0} 2 - lim_{x \to 0} e^{\frac{x}{2}})}{lim_{x \to 0} x}}$

Etapa 3.1.2.1.3

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$e^{4 \frac{\ln (2 - lim_{x \to 0} e^{\frac{x}{2}})}{lim_{x \to 0} x}}$

Etapa 3.1.2.1.4

Mova o limite para o expoente.

$e^{4 \frac{\ln (2 - e^{lim_{x \to 0} \frac{x}{2}})}{lim_{x \to 0} x}}$

Etapa 3.1.2.1.5

Mova o termo $\frac{1}{2}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$e^{4 \frac{\ln (2 - e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} x})}{lim_{x \to 0} x}}$

Etapa 3.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$e^{4 \frac{\ln (2 - e^{\frac{1}{2} \cdot 0})}{lim_{x \to 0} x}}$

Etapa 3.1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 3.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.2.3.1.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $0$ .

$e^{4 \frac{\ln (2 - e^{0})}{lim_{x \to 0} x}}$

Etapa 3.1.2.3.1.2

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$e^{4 \frac{\ln (2 - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to 0} x}}$

Etapa 3.1.2.3.1.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$e^{4 \frac{\ln (2 - 1)}{lim_{x \to 0} x}}$

Etapa 3.1.2.3.2

Subtraia $1$ de $2$ .

$e^{4 \frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0} x}}$

Etapa 3.1.2.3.3

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$e^{4 \frac{0}{lim_{x \to 0} x}}$

Etapa 3.1.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$e^{4 (\frac{0}{0})}$

Etapa 3.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$e^{4 (\frac{0}{0})}$

Etapa 3.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (2 - e^{\frac{x}{2}})}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (2 - e^{\frac{x}{2}})]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$e^{4 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (2 - e^{\frac{x}{2}})]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 2 - e^{\frac{x}{2}}$ .

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Etapa 3.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $2 - e^{\frac{x}{2}}$ .

$e^{4 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 - e^{\frac{x}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Etapa 3.3.2.2

A derivada de $\ln (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{u_{1}}$ .

$e^{4 lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 - e^{\frac{x}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Etapa 3.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 - e^{\frac{x}{2}}$ .

$e^{4 lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 - e^{\frac{x}{2}}} \frac{d}{d x} [2 - e^{\frac{x}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Etapa 3.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 - e^{\frac{x}{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- e^{\frac{x}{2}}]$ .

$e^{4 lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 - e^{\frac{x}{2}}} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- e^{\frac{x}{2}}])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Etapa 3.3.4

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$e^{4 lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 - e^{\frac{x}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- e^{\frac{x}{2}}])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Etapa 3.3.5

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- e^{\frac{x}{2}}]$ .

$e^{4 lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 - e^{\frac{x}{2}}} \frac{d}{d x} [- e^{\frac{x}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Etapa 3.3.6

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- e^{\frac{x}{2}}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]$ .

$e^{4 lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 - e^{\frac{x}{2}}} \cdot - 1 \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Etapa 3.3.7

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \frac{x}{2}$ .

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Etapa 3.3.7.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $\frac{x}{2}$ .

$e^{4 lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 - e^{\frac{x}{2}}} \cdot - 1 \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Etapa 3.3.7.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{4 lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 - e^{\frac{x}{2}}} \cdot - 1 e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Etapa 3.3.7.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\frac{x}{2}$ .

$e^{4 lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 - e^{\frac{x}{2}}} \cdot - 1 e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Etapa 3.3.8

Combine $\frac{1}{2 - e^{\frac{x}{2}}}$ e $e^{\frac{x}{2}}$ .

$e^{4 lim_{x \to 0} \frac{- \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2 - e^{\frac{x}{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Etapa 3.3.9

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x}{2}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{4 lim_{x \to 0} \frac{- \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2 - e^{\frac{x}{2}}} \cdot \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Etapa 3.3.10

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2 - e^{\frac{x}{2}}}$ .

$e^{4 lim_{x \to 0} \frac{- \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2 (2 - e^{\frac{x}{2}})} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Etapa 3.3.11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{4 lim_{x \to 0} \frac{- \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2 (2 - e^{\frac{x}{2}})} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Etapa 3.3.12

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$e^{4 lim_{x \to 0} \frac{- \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2 (2 - e^{\frac{x}{2}})}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Etapa 3.3.13

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{4 lim_{x \to 0} \frac{- \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2 (2 - e^{\frac{x}{2}})}}{1}}$

Etapa 3.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$e^{4 lim_{x \to 0} - \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2 (2 - e^{\frac{x}{2}})} \cdot 1}$

Etapa 3.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$e^{4 lim_{x \to 0} - \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2 (2 - e^{\frac{x}{2}})}}$

Etapa 4

Avalie o limite.

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Etapa 4.1

Mova o termo $- 1$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$e^{4 \cdot - 1 lim_{x \to 0} \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2 (2 - e^{\frac{x}{2}})}}$

Etapa 4.2

Mova o termo $\frac{1}{2}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$e^{4 \cdot - 1 \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2 - e^{\frac{x}{2}}}}$

Etapa 4.3

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$e^{4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{lim_{x \to 0} e^{\frac{x}{2}}}{lim_{x \to 0} 2 - e^{\frac{x}{2}}}}$

Etapa 4.4

Mova o limite para o expoente.

$e^{4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{e^{lim_{x \to 0} \frac{x}{2}}}{lim_{x \to 0} 2 - e^{\frac{x}{2}}}}$

Etapa 4.5

Mova o termo $\frac{1}{2}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$e^{4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} 2 - e^{\frac{x}{2}}}}$

Etapa 4.6

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$e^{4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} 2 - lim_{x \to 0} e^{\frac{x}{2}}}}$

Etapa 4.7

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$e^{4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} x}}{2 - lim_{x \to 0} e^{\frac{x}{2}}}}$

Etapa 4.8

Mova o limite para o expoente.

$e^{4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} x}}{2 - e^{lim_{x \to 0} \frac{x}{2}}}}$

Etapa 4.9

Mova o termo $\frac{1}{2}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$e^{4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} x}}{2 - e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} x}}}$

Etapa 5

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 5.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$e^{4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{e^{\frac{1}{2} \cdot 0}}{2 - e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} x}}}$

Etapa 5.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$e^{4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{e^{\frac{1}{2} \cdot 0}}{2 - e^{\frac{1}{2} \cdot 0}}}$

Etapa 6

Simplifique a resposta.

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Etapa 6.1

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$e^{- 4 (\frac{1}{2}) \frac{e^{\frac{1}{2} \cdot 0}}{2 - e^{\frac{1}{2} \cdot 0}}}$

Etapa 6.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.2.1

Fatore $2$ de $- 4$ .

$e^{2 (- 2) \frac{1}{2} \frac{e^{\frac{1}{2} \cdot 0}}{2 - e^{\frac{1}{2} \cdot 0}}}$

Etapa 6.2.2

Cancele o fator comum.

$e^{2 \cdot - 2 \frac{1}{2} \frac{e^{\frac{1}{2} \cdot 0}}{2 - e^{\frac{1}{2} \cdot 0}}}$

Etapa 6.2.3

Reescreva a expressão.

$e^{- 2 \frac{e^{\frac{1}{2} \cdot 0}}{2 - e^{\frac{1}{2} \cdot 0}}}$

Etapa 6.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.3.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $0$ .

$e^{- 2 \frac{e^{0}}{2 - e^{\frac{1}{2} \cdot 0}}}$

Etapa 6.3.2

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$e^{- 2 \frac{1}{2 - e^{\frac{1}{2} \cdot 0}}}$

Etapa 6.4

Simplifique o denominador.

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Etapa 6.4.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $0$ .

$e^{- 2 \frac{1}{2 - e^{0}}}$

Etapa 6.4.2

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$e^{- 2 \frac{1}{2 - 1 \cdot 1}}$

Etapa 6.4.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$e^{- 2 \frac{1}{2 - 1}}$

Etapa 6.4.4

Subtraia $1$ de $2$ .

$e^{- 2 (\frac{1}{1})}$

Etapa 6.5

Cancele o fator comum de $1$ .

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Etapa 6.5.1

Cancele o fator comum.

$e^{- 2 (\frac{1}{1})}$

Etapa 6.5.2

Reescreva a expressão.

$e^{- 2 \cdot 1}$

Etapa 6.6

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$e^{- 2}$

Etapa 6.7

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{e^{2}}$