Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{3}{x}$ , $[1, 7]$

Etapa 1

Para encontrar o valor médio de uma função, ela deve ser contínua no intervalo fechado $[a, b]$ . Para saber se $f (x)$ é contínuo em $[1, 7]$ ou não, encontre o domínio de $f (x) = \frac{3}{x}$ .

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Etapa 1.1

Defina o denominador em $\frac{3}{x}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x = 0$

Etapa 1.2

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq 0}$

Notação de intervalo:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq 0}$

Etapa 2

$f (x)$ é contínuo em $[1, 7]$ .

$f (x)$ é contínuo

Etapa 3

O valor médio da função $f$ sobre o intervalo $[a, b]$ é definido como $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Etapa 4

Substitua os valores reais na fórmula pelo valor médio de uma função.

$A (x) = \frac{1}{7 - 1} (\int_{1}^{7} \frac{3}{x} d x)$

Etapa 5

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$A (x) = \frac{1}{7 - 1} (3 \int_{1}^{7} \frac{1}{x} d x)$

Etapa 6

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 1} (3 (\ln (| x |)]_{1}^{7}))$

Etapa 7

Simplifique a resposta.

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Etapa 7.1

Avalie $\ln (| x |)$ em $7$ e em $1$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 1} (3 (\ln (| 7 |) - \ln (| 1 |)))$

Etapa 7.2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 1} (3 \ln (\frac{| 7 |}{| 1 |}))$

Etapa 7.3

Simplifique.

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Etapa 7.3.1

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $7$ é $7$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 1} (3 \ln (\frac{7}{| 1 |}))$

Etapa 7.3.2

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 1} (3 \ln (\frac{7}{1}))$

Etapa 7.3.3

Divida $7$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 1} (3 \ln (7))$

Etapa 8

Subtraia $1$ de $7$ .

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot (3 \ln (7))$

Etapa 9

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 9.1

Fatore $3$ de $6$ .

$A (x) = \frac{1}{3 (2)} \cdot (3 \ln (7))$

Etapa 9.2

Fatore $3$ de $3 \ln (7)$ .

$A (x) = \frac{1}{3 (2)} \cdot (3 (\ln (7)))$

Etapa 9.3

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{3 \cdot 2} \cdot (3 \ln (7))$

Etapa 9.4

Reescreva a expressão.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \ln (7)$

Etapa 10

Simplifique $\frac{1}{2} \cdot \ln (7)$ movendo $\frac{1}{2}$ para dentro do logaritmo.

$A (x) = \ln (7^{\frac{1}{2}})$

Etapa 11