Cálculo Exemplos

$y = 3 x - x^{3}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x - x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{3}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 - (3 x^{2})$

Etapa 1.3.3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$3 - 3 x^{2}$

Etapa 1.4

Reordene os termos.

$- 3 x^{2} + 3$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 3 x^{2} + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3)$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (3)$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (3)$

Etapa 2.2.3

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$f'' (x) = - 6 x + \frac{d}{d x} (3)$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = - 6 x + 0$

Etapa 2.3.2

Some $- 6 x$ e $0$ .

$f'' (x) = - 6 x$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- 3 x^{2} + 3 = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x - x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Etapa 4.1.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Etapa 4.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Etapa 4.1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{3}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 - (3 x^{2})$

Etapa 4.1.3.3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$3 - 3 x^{2}$

Etapa 4.1.4

Reordene os termos.

$f' (x) = - 3 x^{2} + 3$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 3 x^{2} + 3$ .

$- 3 x^{2} + 3$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 3 x^{2} + 3 = 0$ .

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Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- 3 x^{2} + 3 = 0$

Etapa 5.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$- 3 x^{2} = - 3$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $- 3 x^{2} = - 3$ por $- 3$ e simplifique.

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Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $- 3 x^{2} = - 3$ por $- 3$ .

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 3}{- 3}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 3$ .

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Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 3}{- 3}$

Etapa 5.3.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 3}{- 3}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.3.1

Divida $- 3$ por $- 3$ .

$x^{2} = 1$

Etapa 5.4

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{1}$

Etapa 5.5

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$x = \pm 1$

Etapa 5.6

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 5.6.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 1$

Etapa 5.6.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 1$

Etapa 5.6.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 1, - 1$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 1, - 1$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 1$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 6 \cdot 1$

Etapa 9

Multiplique $- 6$ por $1$ .

$- 6$

Etapa 10

$x = 1$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 1$ é um máximo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = 1$ .

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Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f (1) = 3 (1) - {(1)}^{3}$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 11.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 11.2.1.1

Multiplique $3$ por $1$ .

$f (1) = 3 - {(1)}^{3}$

Etapa 11.2.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (1) = 3 - 1 \cdot 1$

Etapa 11.2.1.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (1) = 3 - 1$

Etapa 11.2.2

Subtraia $1$ de $3$ .

$f (1) = 2$

Etapa 11.2.3

A resposta final é $2$ .

$y = 2$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $x = - 1$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 6 \cdot - 1$

Etapa 13

Multiplique $- 6$ por $- 1$ .

$6$

Etapa 14

$x = - 1$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - 1$ é um mínimo local

Etapa 15

Encontre o valor y quando $x = - 1$ .

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Etapa 15.1

Substitua a variável $x$ por $- 1$ na expressão.

$f (- 1) = 3 (- 1) - {(- 1)}^{3}$

Etapa 15.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 15.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 15.2.1.1

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$f (- 1) = - 3 - {(- 1)}^{3}$

Etapa 15.2.1.2

Multiplique $- 1$ por ${(- 1)}^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 15.2.1.2.1

Multiplique $- 1$ por ${(- 1)}^{3}$ .

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Etapa 15.2.1.2.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $1$ .

$f (- 1) = - 3 + (- 1) {(- 1)}^{3}$

Etapa 15.2.1.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (- 1) = - 3 + {(- 1)}^{1 + 3}$

Etapa 15.2.1.2.2

Some $1$ e $3$ .

$f (- 1) = - 3 + {(- 1)}^{4}$

Etapa 15.2.1.3

Eleve $- 1$ à potência de $4$ .

$f (- 1) = - 3 + 1$

Etapa 15.2.2

Some $- 3$ e $1$ .

$f (- 1) = - 2$

Etapa 15.2.3

A resposta final é $- 2$ .

$y = - 2$

Etapa 16

Esses são os extremos locais para $f (x) = 3 x - x^{3}$ .

$(1, 2)$ é um máximo local

$(- 1, - 2)$ é um mínimo local

Etapa 17