Cálculo Exemplos

$y = x + 3 \ln (5 x) - 4 x^{2} + e^{2 x} - π$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x + 3 \ln (5 x) - 4 x^{2} + e^{2 x} - π)$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie.

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Etapa 3.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 3 \ln (5 x) - 4 x^{2} + e^{2 x} - π$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 \ln (5 x)] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- π]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 \ln (5 x)] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- π]$

Etapa 3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [3 \ln (5 x)] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- π]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 \ln (5 x)]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 \ln (5 x)$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [\ln (5 x)]$ .

$1 + 3 \frac{d}{d x} [\ln (5 x)] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- π]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 5 x$ .

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Etapa 3.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $5 x$ .

$1 + 3 (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [5 x]) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- π]$

Etapa 3.2.2.2

A derivada de $\ln (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{u_{1}}$ .

$1 + 3 (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [5 x]) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- π]$

Etapa 3.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $5 x$ .

$1 + 3 (\frac{1}{5 x} \frac{d}{d x} [5 x]) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- π]$

Etapa 3.2.3

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 + 3 (\frac{1}{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- π]$

Etapa 3.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + 3 (\frac{1}{5 x} (5 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- π]$

Etapa 3.2.5

Multiplique $5$ por $1$ .

$1 + 3 (\frac{1}{5 x} \cdot 5) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- π]$

Etapa 3.2.6

Combine $\frac{1}{5 x}$ e $5$ .

$1 + 3 \frac{5}{5 x} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- π]$

Etapa 3.2.7

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 3.2.7.1

Cancele o fator comum.

$1 + 3 \frac{5}{5 x} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- π]$

Etapa 3.2.7.2

Reescreva a expressão.

$1 + 3 \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- π]$

Etapa 3.2.8

Combine $3$ e $\frac{1}{x}$ .

$1 + \frac{3}{x} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- π]$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$1 + \frac{3}{x} - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- π]$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$1 + \frac{3}{x} - 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- π]$

Etapa 3.3.3

Multiplique $2$ por $- 4$ .

$1 + \frac{3}{x} - 8 x + \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- π]$

Etapa 3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

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Etapa 3.4.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 3.4.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $2 x$ .

$1 + \frac{3}{x} - 8 x + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- π]$

Etapa 3.4.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$1 + \frac{3}{x} - 8 x + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- π]$

Etapa 3.4.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $2 x$ .

$1 + \frac{3}{x} - 8 x + e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- π]$

Etapa 3.4.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 + \frac{3}{x} - 8 x + e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- π]$

Etapa 3.4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{3}{x} - 8 x + e^{2 x} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- π]$

Etapa 3.4.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$1 + \frac{3}{x} - 8 x + e^{2 x} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- π]$

Etapa 3.4.5

Mova $2$ para a esquerda de $e^{2 x}$ .

$1 + \frac{3}{x} - 8 x + 2 e^{2 x} + \frac{d}{d x} [- π]$

Etapa 3.5

Como $- π$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- π$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + \frac{3}{x} - 8 x + 2 e^{2 x} + 0$

Etapa 3.6

Simplifique.

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Etapa 3.6.1

Some $1 + \frac{3}{x} - 8 x + 2 e^{2 x}$ e $0$ .

$1 + \frac{3}{x} - 8 x + 2 e^{2 x}$

Etapa 3.6.2

Reordene os termos.

$- 8 x + \frac{3}{x} + 2 e^{2 x} + 1$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = - 8 x + \frac{3}{x} + 2 e^{2 x} + 1$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 8 x + \frac{3}{x} + 2 e^{2 x} + 1$