Cálculo Exemplos

$\frac{2 x}{e^{2 x}}$

Etapa 1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{2 x}{e^{2 x}}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{e^{2 x}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{e^{2 x}}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = e^{2 x}$ .

$2 \frac{e^{2 x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{{(e^{2 x})}^{2}}$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 3.1

Multiplique os expoentes em ${(e^{2 x})}^{2}$ .

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Etapa 3.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{e^{2 x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{e^{2 x \cdot 2}}$

Etapa 3.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$2 \frac{e^{2 x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{e^{4 x}}$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \frac{e^{2 x} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{e^{4 x}}$

Etapa 3.3

Multiplique $e^{2 x}$ por $1$ .

$2 \frac{e^{2 x} - x \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{e^{4 x}}$

Etapa 4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$2 \frac{e^{2 x} - x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])}{e^{4 x}}$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$2 \frac{e^{2 x} - x (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])}{e^{4 x}}$

Etapa 4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$2 \frac{e^{2 x} - x (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])}{e^{4 x}}$

Etapa 5

Diferencie.

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Etapa 5.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{e^{2 x} - x (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))}{e^{4 x}}$

Etapa 5.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$2 \frac{e^{2 x} - 2 x (e^{2 x} (\frac{d}{d x} [x]))}{e^{4 x}}$

Etapa 5.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \frac{e^{2 x} - 2 x (e^{2 x} \cdot 1)}{e^{4 x}}$

Etapa 5.4

Combine frações.

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Etapa 5.4.1

Multiplique $e^{2 x}$ por $1$ .

$2 \frac{e^{2 x} - 2 x e^{2 x}}{e^{4 x}}$

Etapa 5.4.2

Combine $2$ e $\frac{e^{2 x} - 2 x e^{2 x}}{e^{4 x}}$ .

$\frac{2 (e^{2 x} - 2 x e^{2 x})}{e^{4 x}}$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 e^{2 x} + 2 (- 2 x e^{2 x})}{e^{4 x}}$

Etapa 6.2

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$\frac{2 e^{2 x} - 4 x e^{2 x}}{e^{4 x}}$

Etapa 6.3

Reordene os termos.

$\frac{- 4 e^{2 x} x + 2 e^{2 x}}{e^{4 x}}$

Etapa 6.4

Fatore $2 e^{2 x}$ de $- 4 e^{2 x} x + 2 e^{2 x}$ .

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Etapa 6.4.1

Fatore $2 e^{2 x}$ de $- 4 e^{2 x} x$ .

$\frac{2 e^{2 x} (- 2 x) + 2 e^{2 x}}{e^{4 x}}$

Etapa 6.4.2

Fatore $2 e^{2 x}$ de $2 e^{2 x}$ .

$\frac{2 e^{2 x} (- 2 x) + 2 e^{2 x} (1)}{e^{4 x}}$

Etapa 6.4.3

Fatore $2 e^{2 x}$ de $2 e^{2 x} (- 2 x) + 2 e^{2 x} (1)$ .

$\frac{2 e^{2 x} (- 2 x + 1)}{e^{4 x}}$

Etapa 6.5

Cancele o fator comum de $e^{2 x}$ e $e^{4 x}$ .

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Etapa 6.5.1

Fatore $e^{4 x}$ de $2 e^{2 x} (- 2 x + 1)$ .

$\frac{e^{4 x} (2 e^{- 2 x} (- 2 x + 1))}{e^{4 x}}$

Etapa 6.5.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.5.2.1

Multiplique por $1$ .

$\frac{e^{4 x} (2 e^{- 2 x} (- 2 x + 1))}{e^{4 x} \cdot 1}$

Etapa 6.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{4 x} (2 e^{- 2 x} (- 2 x + 1))}{e^{4 x} \cdot 1}$

Etapa 6.5.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2 e^{- 2 x} (- 2 x + 1)}{1}$

Etapa 6.5.2.4

Divida $2 e^{- 2 x} (- 2 x + 1)$ por $1$ .

$2 e^{- 2 x} (- 2 x + 1)$

Etapa 6.6

Aplique a propriedade distributiva.

$2 e^{- 2 x} (- 2 x) + 2 e^{- 2 x} \cdot 1$

Etapa 6.7

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 \cdot - 2 e^{- 2 x} x + 2 e^{- 2 x} \cdot 1$

Etapa 6.8

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 \cdot - 2 e^{- 2 x} x + 2 e^{- 2 x}$

Etapa 6.9

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$- 4 e^{- 2 x} x + 2 e^{- 2 x}$

Etapa 6.10

Reordene os fatores em $- 4 e^{- 2 x} x + 2 e^{- 2 x}$ .

$- 4 x e^{- 2 x} + 2 e^{- 2 x}$