Cálculo Exemplos

$f (x) = 7 x {(x - 1)}^{6}$

Etapa 1

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 2

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int 7 x {(x - 1)}^{6} d x$

Etapa 3

Como $7$ é constante com relação a $x$ , mova $7$ para fora da integral.

$7 \int x {(x - 1)}^{6} d x$

Etapa 4

Deixe $u = x - 1$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 4.1

Deixe $u = x - 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 4.1.1

Diferencie $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 4.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 4.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 4.1.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 4.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 4.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$7 \int (u + 1) u^{6} d u$

Etapa 5

Multiplique $(u + 1) u^{6}$ .

$7 \int u \cdot u^{6} + 1 u^{6} d u$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Multiplique $u$ por $u^{6}$ somando os expoentes.

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Etapa 6.1.1

Multiplique $u$ por $u^{6}$ .

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Etapa 6.1.1.1

Eleve $u$ à potência de $1$ .

$7 \int u^{1} u^{6} + 1 u^{6} d u$

Etapa 6.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$7 \int u^{1 + 6} + 1 u^{6} d u$

Etapa 6.1.2

Some $1$ e $6$ .

$7 \int u^{7} + 1 u^{6} d u$

Etapa 6.2

Multiplique $u^{6}$ por $1$ .

$7 \int u^{7} + u^{6} d u$

Etapa 7

Divida a integral única em várias integrais.

$7 (\int u^{7} d u + \int u^{6} d u)$

Etapa 8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{7}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{8} u^{8}$ .

$7 (\frac{1}{8} u^{8} + C + \int u^{6} d u)$

Etapa 9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{6}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{7} u^{7}$ .

$7 (\frac{1}{8} u^{8} + C + \frac{1}{7} u^{7} + C)$

Etapa 10

Simplifique.

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Etapa 10.1

Simplifique.

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Etapa 10.1.1

Combine $\frac{1}{8}$ e $u^{8}$ .

$7 (\frac{u^{8}}{8} + C + \frac{1}{7} u^{7} + C)$

Etapa 10.1.2

Combine $\frac{1}{7}$ e $u^{7}$ .

$7 (\frac{u^{8}}{8} + C + \frac{u^{7}}{7} + C)$

Etapa 10.2

Simplifique.

$7 (\frac{1}{8} u^{8} + \frac{1}{7} u^{7}) + C$

Etapa 11

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 1$ .

$7 (\frac{1}{8} {(x - 1)}^{8} + \frac{1}{7} {(x - 1)}^{7}) + C$

Etapa 12

A resposta é a primitiva da função $f (x) = 7 x {(x - 1)}^{6}$ .

$F (x) =$ $7 (\frac{1}{8} {(x - 1)}^{8} + \frac{1}{7} {(x - 1)}^{7}) + C$