Cálculo Exemplos

$y = \arcsin (\frac{1}{\sqrt{x}})$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \arcsin (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 2

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\arcsin (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}))$

Etapa 3

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 4

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 4.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \arcsin (x)$ e $g (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

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Etapa 4.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{d}{d u} [\arcsin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 4.1.2

A derivada de $\arcsin (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 4.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 4.2.1

Reescreva $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ como ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Etapa 4.2.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 4.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Etapa 4.2.2.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{2}}]$

Etapa 4.2.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$

Etapa 4.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1})$

Etapa 4.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Etapa 4.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 4.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 4.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}})$

Etapa 4.6.2

Subtraia $2$ de $- 1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}})$

Etapa 4.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}})$

Etapa 4.8

Combine $x^{- \frac{3}{2}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

Etapa 4.9

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}}}$ por $\frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$ .

$- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}} \cdot 2}$

Etapa 4.10

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.10.1

Mova $2$ para a esquerda de $\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}}$ .

$- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2 \cdot \sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}}}$

Etapa 4.10.2

Mova $x^{- \frac{3}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 \sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}} x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 4.11

Simplifique.

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Etapa 4.11.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{1}{2 \sqrt{1 - \frac{1^{2}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}} x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 4.11.2

Combine os termos.

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Etapa 4.11.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$- \frac{1}{2 \sqrt{1 - \frac{1}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}} x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 4.11.2.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 4.11.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2 \sqrt{1 - \frac{1}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}} x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 4.11.2.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.11.2.2.2.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{1}{2 \sqrt{1 - \frac{1}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}} x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 4.11.2.2.2.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{1}{2 \sqrt{1 - \frac{1}{x^{1}}} x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 4.11.2.3

Simplifique.

$- \frac{1}{2 \sqrt{1 - \frac{1}{x}} x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 4.11.3

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.11.3.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$- \frac{1}{2 \sqrt{\frac{x}{x} - \frac{1}{x}} x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 4.11.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{1}{2 \sqrt{\frac{x - 1}{x}} x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 4.11.3.3

Reescreva $\sqrt{\frac{x - 1}{x}}$ como $\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x}}$ .

$- \frac{1}{2 \frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x}} x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 4.11.3.4

Multiplique $\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x}}$ por $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$- \frac{1}{2 (\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}) x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 4.11.3.5

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 4.11.3.5.1

Multiplique $\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x}}$ por $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$- \frac{1}{2 \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}} x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 4.11.3.5.2

Eleve $\sqrt{x}$ à potência de $1$ .

$- \frac{1}{2 \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}} x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 4.11.3.5.3

Eleve $\sqrt{x}$ à potência de $1$ .

$- \frac{1}{2 \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}} x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 4.11.3.5.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{1}{2 \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}} x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 4.11.3.5.5

Some $1$ e $1$ .

$- \frac{1}{2 \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}} x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 4.11.3.5.6

Reescreva ${\sqrt{x}}^{2}$ como $x$ .

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Etapa 4.11.3.5.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{2 \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}} x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 4.11.3.5.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2 \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}} x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 4.11.3.5.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$- \frac{1}{2 \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}} x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 4.11.3.5.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.11.3.5.6.4.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{1}{2 \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}} x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 4.11.3.5.6.4.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{1}{2 \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x}}{x^{1}} x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 4.11.3.5.6.5

Simplifique.

$- \frac{1}{2 \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x}}{x} x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 4.11.3.6

Combine usando a regra do produto para radicais.

$- \frac{1}{2 \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{x} x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 4.11.3.7

Combine expoentes.

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Etapa 4.11.3.7.1

Combine $2$ e $\frac{\sqrt{(x - 1) x}}{x}$ .

$- \frac{1}{\frac{2 \sqrt{(x - 1) x}}{x} x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 4.11.3.7.2

Combine $\frac{2 \sqrt{(x - 1) x}}{x}$ e $x^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{\frac{2 \sqrt{(x - 1) x} x^{\frac{3}{2}}}{x}}$

Etapa 4.11.3.8

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 4.11.3.8.1

Mova $x^{1}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$- \frac{1}{2 \sqrt{(x - 1) x} x^{\frac{3}{2}} x^{- 1}}$

Etapa 4.11.3.8.2

Multiplique $x^{\frac{3}{2}}$ por $x^{- 1}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.11.3.8.2.1

Mova $x^{- 1}$ .

$- \frac{1}{2 \sqrt{(x - 1) x} (x^{- 1} x^{\frac{3}{2}})}$

Etapa 4.11.3.8.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{1}{2 \sqrt{(x - 1) x} x^{- 1 + \frac{3}{2}}}$

Etapa 4.11.3.8.2.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2 \sqrt{(x - 1) x} x^{- 1 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}}}$

Etapa 4.11.3.8.2.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2 \sqrt{(x - 1) x} x^{\frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}}}$

Etapa 4.11.3.8.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{1}{2 \sqrt{(x - 1) x} x^{\frac{- 1 \cdot 2 + 3}{2}}}$

Etapa 4.11.3.8.2.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.11.3.8.2.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- \frac{1}{2 \sqrt{(x - 1) x} x^{\frac{- 2 + 3}{2}}}$

Etapa 4.11.3.8.2.6.2

Some $- 2$ e $3$ .

$- \frac{1}{2 \sqrt{(x - 1) x} x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.11.4

Multiplique $\frac{1}{2 \sqrt{(x - 1) x} x^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{\sqrt{(x - 1) x}}{\sqrt{(x - 1) x}}$ .

$- (\frac{1}{2 \sqrt{(x - 1) x} x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{\sqrt{(x - 1) x}})$

Etapa 4.11.5

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 4.11.5.1

Multiplique $\frac{1}{2 \sqrt{(x - 1) x} x^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{\sqrt{(x - 1) x}}{\sqrt{(x - 1) x}}$ .

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 \sqrt{(x - 1) x} x^{\frac{1}{2}} \sqrt{(x - 1) x}}$

Etapa 4.11.5.2

Mova $\sqrt{(x - 1) x}$ .

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 x^{\frac{1}{2}} (\sqrt{(x - 1) x} \sqrt{(x - 1) x})}$

Etapa 4.11.5.3

Eleve $\sqrt{(x - 1) x}$ à potência de $1$ .

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 x^{\frac{1}{2}} ({\sqrt{(x - 1) x}}^{1} \sqrt{(x - 1) x})}$

Etapa 4.11.5.4

Eleve $\sqrt{(x - 1) x}$ à potência de $1$ .

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 x^{\frac{1}{2}} ({\sqrt{(x - 1) x}}^{1} {\sqrt{(x - 1) x}}^{1})}$

Etapa 4.11.5.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 x^{\frac{1}{2}} {\sqrt{(x - 1) x}}^{1 + 1}}$

Etapa 4.11.5.6

Some $1$ e $1$ .

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 x^{\frac{1}{2}} {\sqrt{(x - 1) x}}^{2}}$

Etapa 4.11.5.7

Reescreva ${\sqrt{(x - 1) x}}^{2}$ como $(x - 1) x$ .

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Etapa 4.11.5.7.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{(x - 1) x}$ como ${((x - 1) x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 x^{\frac{1}{2}} {({((x - 1) x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 4.11.5.7.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 x^{\frac{1}{2}} {((x - 1) x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 4.11.5.7.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 x^{\frac{1}{2}} {((x - 1) x)}^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 4.11.5.7.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.11.5.7.4.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 x^{\frac{1}{2}} {((x - 1) x)}^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 4.11.5.7.4.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 x^{\frac{1}{2}} {((x - 1) x)}^{1}}$

Etapa 4.11.5.7.5

Simplifique.

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 x^{\frac{1}{2}} ((x - 1) x)}$

Etapa 4.11.6

Multiplique $x^{\frac{1}{2}}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.11.6.1

Mova $x$ .

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 (x \cdot x^{\frac{1}{2}}) (x - 1)}$

Etapa 4.11.6.2

Multiplique $x$ por $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 4.11.6.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 (x^{1} x^{\frac{1}{2}}) (x - 1)}$

Etapa 4.11.6.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 x^{1 + \frac{1}{2}} (x - 1)}$

Etapa 4.11.6.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} (x - 1)}$

Etapa 4.11.6.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 x^{\frac{2 + 1}{2}} (x - 1)}$

Etapa 4.11.6.5

Some $2$ e $1$ .

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 x^{\frac{3}{2}} (x - 1)}$

Etapa 4.11.7

Reordene os fatores em $- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 x^{\frac{3}{2}} (x - 1)}$ .

$- \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{2 x^{\frac{3}{2}} (x - 1)}$

Etapa 5

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = - \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{2 x^{\frac{3}{2}} (x - 1)}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{2 x^{\frac{3}{2}} (x - 1)}$