Cálculo Exemplos

$\sum_{i = 1}^{50} (5 i - 2) (i + 3)$

Etapa 1

Simplifique a soma.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Expanda $(5 i - 2) (i + 3)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$5 i (i + 3) - 2 (i + 3)$

Etapa 1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$5 i \cdot i + 5 i \cdot 3 - 2 (i + 3)$

Etapa 1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$5 i \cdot i + 5 i \cdot 3 - 2 i - 2 \cdot 3$

Etapa 1.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.1

Multiplique $i$ por $i$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.1.1

Mova $i$ .

$5 (i \cdot i) + 5 i \cdot 3 - 2 i - 2 \cdot 3$

Etapa 1.2.1.1.2

Multiplique $i$ por $i$ .

$5 i^{2} + 5 i \cdot 3 - 2 i - 2 \cdot 3$

Etapa 1.2.1.2

Multiplique $3$ por $5$ .

$5 i^{2} + 15 i - 2 i - 2 \cdot 3$

Etapa 1.2.1.3

Multiplique $- 2$ por $3$ .

$5 i^{2} + 15 i - 2 i - 6$

Etapa 1.2.2

Subtraia $2 i$ de $15 i$ .

$5 i^{2} + 13 i - 6$

Etapa 1.3

Reescreva a soma.

$\sum_{i = 1}^{50} 5 i^{2} + 13 i - 6$

Etapa 2

Divida a soma em somas menores que se enquadrem nas regras da soma.

$\sum_{i = 1}^{50} 5 i^{2} + 13 i - 6 = 5 \sum_{i = 1}^{50} i^{2} + 13 \sum_{i = 1}^{50} i + \sum_{i = 1}^{50} - 6$

Etapa 3

Avalie $5 \sum_{i = 1}^{50} i^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

A fórmula da soma de um polinômio com grau $2$ é:

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Etapa 3.2

Substitua os valores na fórmula e multiplique pelo termo da frente.

$(5) (\frac{50 (50 + 1) (2 \cdot 50 + 1)}{6})$

Etapa 3.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1

Some $50$ e $1$ .

$5 \frac{50 \cdot 51 (2 \cdot 50 + 1)}{6}$

Etapa 3.3.1.2

Combine expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.2.1

Multiplique $50$ por $51$ .

$5 \frac{2550 (2 \cdot 50 + 1)}{6}$

Etapa 3.3.1.2.2

Multiplique $2$ por $50$ .

$5 \frac{2550 (100 + 1)}{6}$

Etapa 3.3.1.3

Some $100$ e $1$ .

$5 \frac{2550 \cdot 101}{6}$

Etapa 3.3.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Multiplique $2550$ por $101$ .

$5 (\frac{257550}{6})$

Etapa 3.3.2.2

Divida $257550$ por $6$ .

$5 \cdot 42925$

Etapa 3.3.2.3

Multiplique $5$ por $42925$ .

$214625$

Etapa 4

Avalie $13 \sum_{i = 1}^{50} i$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

A fórmula da soma de um polinômio com grau $1$ é:

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

Etapa 4.2

Substitua os valores na fórmula e multiplique pelo termo da frente.

$(13) (\frac{50 (50 + 1)}{2})$

Etapa 4.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Some $50$ e $1$ .

$13 \frac{50 \cdot 51}{2}$

Etapa 4.3.2

Multiplique $50$ por $51$ .

$13 (\frac{2550}{2})$

Etapa 4.3.3

Divida $2550$ por $2$ .

$13 \cdot 1275$

Etapa 4.3.4

Multiplique $13$ por $1275$ .

$16575$

Etapa 5

Avalie $\sum_{i = 1}^{50} - 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

A fórmula da soma de uma constante é:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Etapa 5.2

Substitua os valores na fórmula.

$(- 6) (50)$

Etapa 5.3

Multiplique $- 6$ por $50$ .

$- 300$

Etapa 6

Adicione os resultados das somas.

$214625 + 16575 - 300$

Etapa 7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Some $214625$ e $16575$ .

$231200 - 300$

Etapa 7.2

Subtraia $300$ de $231200$ .

$230900$