Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 9} \frac{2 x^{2} - 162}{x + 3 \sqrt{x} - 18}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 9} 2 x^{2} - 162}{lim_{x \to 9} x + 3 \sqrt{x} - 18}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $9$ .

$\frac{lim_{x \to 9} 2 x^{2} - lim_{x \to 9} 162}{lim_{x \to 9} x + 3 \sqrt{x} - 18}$

Etapa 1.1.2.1.2

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 9} x^{2} - lim_{x \to 9} 162}{lim_{x \to 9} x + 3 \sqrt{x} - 18}$

Etapa 1.1.2.1.3

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{2 {(lim_{x \to 9} x)}^{2} - lim_{x \to 9} 162}{lim_{x \to 9} x + 3 \sqrt{x} - 18}$

Etapa 1.1.2.1.4

Avalie o limite de $162$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $9$ .

$\frac{2 {(lim_{x \to 9} x)}^{2} - 1 \cdot 162}{lim_{x \to 9} x + 3 \sqrt{x} - 18}$

Etapa 1.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $9$ por $x$ .

$\frac{2 \cdot 9^{2} - 1 \cdot 162}{lim_{x \to 9} x + 3 \sqrt{x} - 18}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.2.3.1.1

Eleve $9$ à potência de $2$ .

$\frac{2 \cdot 81 - 1 \cdot 162}{lim_{x \to 9} x + 3 \sqrt{x} - 18}$

Etapa 1.1.2.3.1.2

Multiplique $2$ por $81$ .

$\frac{162 - 1 \cdot 162}{lim_{x \to 9} x + 3 \sqrt{x} - 18}$

Etapa 1.1.2.3.1.3

Multiplique $- 1$ por $162$ .

$\frac{162 - 162}{lim_{x \to 9} x + 3 \sqrt{x} - 18}$

Etapa 1.1.2.3.2

Subtraia $162$ de $162$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 9} x + 3 \sqrt{x} - 18}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $9$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 9} x + lim_{x \to 9} 3 \sqrt{x} - lim_{x \to 9} 18}$

Etapa 1.1.3.2

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 9} x + 3 lim_{x \to 9} \sqrt{x} - lim_{x \to 9} 18}$

Etapa 1.1.3.3

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{0}{lim_{x \to 9} x + 3 \sqrt{lim_{x \to 9} x} - lim_{x \to 9} 18}$

Etapa 1.1.3.4

Avalie o limite de $18$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $9$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 9} x + 3 \sqrt{lim_{x \to 9} x} - 1 \cdot 18}$

Etapa 1.1.3.5

Avalie os limites substituindo $9$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.1.3.5.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $9$ por $x$ .

$\frac{0}{9 + 3 \sqrt{lim_{x \to 9} x} - 1 \cdot 18}$

Etapa 1.1.3.5.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $9$ por $x$ .

$\frac{0}{9 + 3 \sqrt{9} - 1 \cdot 18}$

Etapa 1.1.3.6

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.3.6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.3.6.1.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{0}{9 + 3 \sqrt{3^{2}} - 1 \cdot 18}$

Etapa 1.1.3.6.1.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{0}{9 + 3 \cdot 3 - 1 \cdot 18}$

Etapa 1.1.3.6.1.3

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{0}{9 + 9 - 1 \cdot 18}$

Etapa 1.1.3.6.1.4

Multiplique $- 1$ por $18$ .

$\frac{0}{9 + 9 - 18}$

Etapa 1.1.3.6.2

Some $9$ e $9$ .

$\frac{0}{18 - 18}$

Etapa 1.1.3.6.3

Subtraia $18$ de $18$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.6.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.7

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 9} \frac{2 x^{2} - 162}{x + 3 \sqrt{x} - 18} = lim_{x \to 9} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 162]}{\frac{d}{d x} [x + 3 \sqrt{x} - 18]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 162]}{\frac{d}{d x} [x + 3 \sqrt{x} - 18]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{2} - 162$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 162]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 162]}{\frac{d}{d x} [x + 3 \sqrt{x} - 18]}$

Etapa 1.3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Etapa 1.3.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{2}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 162]}{\frac{d}{d x} [x + 3 \sqrt{x} - 18]}$

Etapa 1.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 9} \frac{2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 162]}{\frac{d}{d x} [x + 3 \sqrt{x} - 18]}$

Etapa 1.3.3.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$lim_{x \to 9} \frac{4 x + \frac{d}{d x} [- 162]}{\frac{d}{d x} [x + 3 \sqrt{x} - 18]}$

Etapa 1.3.4

Como $- 162$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 162$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{4 x + 0}{\frac{d}{d x} [x + 3 \sqrt{x} - 18]}$

Etapa 1.3.5

Some $4 x$ e $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{4 x}{\frac{d}{d x} [x + 3 \sqrt{x} - 18]}$

Etapa 1.3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 3 \sqrt{x} - 18$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 18]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{4 x}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 18]}$

Etapa 1.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{4 x}{1 + \frac{d}{d x} [3 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 18]}$

Etapa 1.3.8

Avalie $\frac{d}{d x} [3 \sqrt{x}]$ .

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Etapa 1.3.8.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{4 x}{1 + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 18]}$

Etapa 1.3.8.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{\frac{1}{2}}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{4 x}{1 + 3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 18]}$

Etapa 1.3.8.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{4 x}{1 + 3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 18]}$

Etapa 1.3.8.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{4 x}{1 + 3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 18]}$

Etapa 1.3.8.5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{4 x}{1 + 3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 18]}$

Etapa 1.3.8.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to 9} \frac{4 x}{1 + 3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 18]}$

Etapa 1.3.8.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.3.8.7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$lim_{x \to 9} \frac{4 x}{1 + 3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 18]}$

Etapa 1.3.8.7.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{4 x}{1 + 3 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 18]}$

Etapa 1.3.8.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{x \to 9} \frac{4 x}{1 + 3 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 18]}$

Etapa 1.3.8.9

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{4 x}{1 + 3 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 18]}$

Etapa 1.3.8.10

Combine $3$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{4 x}{1 + \frac{3 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 18]}$

Etapa 1.3.8.11

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{4 x}{1 + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 18]}$

Etapa 1.3.9

Como $- 18$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 18$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{4 x}{1 + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0}$

Etapa 1.3.10

Some $1 + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ e $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{4 x}{1 + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Etapa 1.4

Reescreva $x^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{4 x}{1 + \frac{3}{2 \sqrt{x}}}$

Etapa 1.5

Combine os termos.

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Etapa 1.5.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$lim_{x \to 9} \frac{4 x}{\frac{2 \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}} + \frac{3}{2 \sqrt{x}}}$

Etapa 1.5.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to 9} \frac{4 x}{\frac{2 \sqrt{x} + 3}{2 \sqrt{x}}}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$4 lim_{x \to 9} \frac{x}{\frac{2 \sqrt{x} + 3}{2 \sqrt{x}}}$

Etapa 2.2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $9$ .

$4 \frac{lim_{x \to 9} x}{lim_{x \to 9} \frac{2 \sqrt{x} + 3}{2 \sqrt{x}}}$

Etapa 2.3

Mova o termo $\frac{1}{2}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$4 \frac{lim_{x \to 9} x}{\frac{1}{2} lim_{x \to 9} \frac{2 \sqrt{x} + 3}{\sqrt{x}}}$

Etapa 2.4

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $9$ .

$4 \frac{lim_{x \to 9} x}{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 9} 2 \sqrt{x} + 3}{lim_{x \to 9} \sqrt{x}}}$

Etapa 2.5

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $9$ .

$4 \frac{lim_{x \to 9} x}{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 9} 2 \sqrt{x} + lim_{x \to 9} 3}{lim_{x \to 9} \sqrt{x}}}$

Etapa 2.6

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$4 \frac{lim_{x \to 9} x}{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 lim_{x \to 9} \sqrt{x} + lim_{x \to 9} 3}{lim_{x \to 9} \sqrt{x}}}$

Etapa 2.7

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$4 \frac{lim_{x \to 9} x}{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{lim_{x \to 9} x} + lim_{x \to 9} 3}{lim_{x \to 9} \sqrt{x}}}$

Etapa 2.8

Avalie o limite de $3$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $9$ .

$4 \frac{lim_{x \to 9} x}{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{lim_{x \to 9} x} + 3}{lim_{x \to 9} \sqrt{x}}}$

Etapa 2.9

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$4 \frac{lim_{x \to 9} x}{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{lim_{x \to 9} x} + 3}{\sqrt{lim_{x \to 9} x}}}$

Etapa 3

Avalie os limites substituindo $9$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 3.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $9$ por $x$ .

$4 \frac{9}{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{lim_{x \to 9} x} + 3}{\sqrt{lim_{x \to 9} x}}}$

Etapa 3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $9$ por $x$ .

$4 \frac{9}{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{9} + 3}{\sqrt{lim_{x \to 9} x}}}$

Etapa 3.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $9$ por $x$ .

$4 \frac{9}{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{9} + 3}{\sqrt{9}}}$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$4 \frac{9}{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{3^{2}} + 3}{\sqrt{9}}}$

Etapa 4.1.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$4 \frac{9}{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 3 + 3}{\sqrt{9}}}$

Etapa 4.1.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$4 \frac{9}{\frac{1}{2} \cdot \frac{6 + 3}{\sqrt{9}}}$

Etapa 4.1.4

Some $6$ e $3$ .

$4 \frac{9}{\frac{1}{2} \cdot \frac{9}{\sqrt{9}}}$

Etapa 4.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.2.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$4 \frac{9}{\frac{1}{2} \cdot \frac{9}{\sqrt{3^{2}}}}$

Etapa 4.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$4 \frac{9}{\frac{1}{2} \cdot \frac{9}{3}}$

Etapa 4.3

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{9}{3}$ .

$4 \frac{9}{\frac{9}{2 \cdot 3}}$

Etapa 4.4

Multiplique $2$ por $3$ .

$4 \frac{9}{\frac{9}{6}}$

Etapa 4.5

Cancele o fator comum de $9$ e $6$ .

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Etapa 4.5.1

Fatore $3$ de $9$ .

$4 \frac{9}{\frac{3 (3)}{6}}$

Etapa 4.5.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.5.2.1

Fatore $3$ de $6$ .

$4 \frac{9}{\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 2}}$

Etapa 4.5.2.2

Cancele o fator comum.

$4 \frac{9}{\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 2}}$

Etapa 4.5.2.3

Reescreva a expressão.

$4 \frac{9}{\frac{3}{2}}$

Etapa 4.6

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$4 (9 (\frac{2}{3}))$

Etapa 4.7

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 4.7.1

Fatore $3$ de $9$ .

$4 (3 (3) \frac{2}{3})$

Etapa 4.7.2

Cancele o fator comum.

$4 (3 \cdot 3 \frac{2}{3})$

Etapa 4.7.3

Reescreva a expressão.

$4 (3 \cdot 2)$

Etapa 4.8

Multiplique $3$ por $2$ .

$4 \cdot 6$

Etapa 4.9

Multiplique $4$ por $6$ .

$24$