Cálculo Exemplos

$y = x^{4} \sin (x)$

Etapa 1

Mantenha $y = f (x)$ , calcule o logaritmo natural dos dois lados $\ln (y) = \ln (f (x))$ .

$\ln (y) = \ln (x^{4} \sin (x))$

Etapa 2

Expanda o lado direito.

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Etapa 2.1

Reescreva $\ln (x^{4} \sin (x))$ como $\ln (x^{4}) + \ln (\sin (x))$ .

$\ln (y) = \ln (x^{4}) + \ln (\sin (x))$

Etapa 2.2

Expanda $\ln (x^{4})$ movendo $4$ para fora do logaritmo.

$\ln (y) = 4 \ln (x) + \ln (\sin (x))$

Etapa 3

Diferencie a expressão usando a regra da cadeia, lembrando que $y$ é uma função de $x$ .

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Etapa 3.1

Diferencie o lado esquerdo $\ln (y)$ usando a regra da cadeia.

$\frac{y'}{y} = 4 \ln (x) + \ln (\sin (x))$

Etapa 3.2

Diferencie o lado direito.

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Etapa 3.2.1

Diferencie $4 \ln (x) + \ln (\sin (x))$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [4 \ln (x) + \ln (\sin (x))]$

Etapa 3.2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 \ln (x) + \ln (\sin (x))$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))]$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [4 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))]$

Etapa 3.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [4 \ln (x)]$ .

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Etapa 3.2.3.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 \ln (x)$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{y'}{y} = 4 \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))]$

Etapa 3.2.3.2

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = 4 \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))]$

Etapa 3.2.3.3

Combine $4$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{4}{x} + \frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))]$

Etapa 3.2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))]$ .

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Etapa 3.2.4.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \sin (x)$ .

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Etapa 3.2.4.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\sin (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{4}{x} + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 3.2.4.1.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{4}{x} + \frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 3.2.4.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\sin (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{4}{x} + \frac{1}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 3.2.4.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{4}{x} + \frac{1}{\sin (x)} \cos (x)$

Etapa 3.2.4.3

Converta de $\frac{1}{\sin (x)}$ em $\csc (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{4}{x} + \csc (x) \cos (x)$

Etapa 3.2.5

Simplifique.

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Etapa 3.2.5.1

Reordene os termos.

$\frac{y'}{y} = \cos (x) \csc (x) + \frac{4}{x}$

Etapa 3.2.5.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.5.2.1

Reescreva $\csc (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{y'}{y} = \cos (x) \frac{1}{\sin (x)} + \frac{4}{x}$

Etapa 3.2.5.2.2

Combine $\cos (x)$ e $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{4}{x}$

Etapa 3.2.5.3

Converta de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ em $\cot (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \cot (x) + \frac{4}{x}$

Etapa 4

Isole $y'$ e substitua a função original por $y$ no lado direito.

$y' = (\cot (x) + \frac{4}{x}) (x^{4} \sin (x))$

Etapa 5

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.1

Reescreva $\cot (x)$ em termos de senos e cossenos.

$y' = (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{4}{x}) (x^{4} \sin (x))$

Etapa 5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y' = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (x^{4} \sin (x)) + \frac{4}{x} (x^{4} \sin (x))$

Etapa 5.3

Cancele o fator comum de $\sin (x)$ .

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Etapa 5.3.1

Fatore $\sin (x)$ de $x^{4} \sin (x)$ .

$y' = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (\sin (x) x^{4}) + \frac{4}{x} (x^{4} \sin (x))$

Etapa 5.3.2

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (\sin (x) x^{4}) + \frac{4}{x} (x^{4} \sin (x))$

Etapa 5.3.3

Reescreva a expressão.

$y' = \cos (x) x^{4} + \frac{4}{x} (x^{4} \sin (x))$

Etapa 5.4

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 5.4.1

Fatore $x$ de $x^{4} \sin (x)$ .

$y' = \cos (x) x^{4} + \frac{4}{x} (x (x^{3} \sin (x)))$

Etapa 5.4.2

Cancele o fator comum.

$y' = \cos (x) x^{4} + \frac{4}{x} (x (x^{3} \sin (x)))$

Etapa 5.4.3

Reescreva a expressão.

$y' = \cos (x) x^{4} + 4 (x^{3} \sin (x))$

Etapa 5.5

Reordene os fatores em $\cos (x) x^{4} + 4 x^{3} \sin (x)$ .

$y' = x^{4} \cos (x) + 4 x^{3} \sin (x)$