Cálculo Exemplos

$- 4 x - 5 y^{3} + 4 - x^{2} = 0$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (- 4 x - 5 y^{3} + 4 - x^{2}) = \frac{d}{d x} (0)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 4 x - 5 y^{3} + 4 - x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{3}] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{3}] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{3}] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5 y^{3}] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$- 4 + \frac{d}{d x} [- 5 y^{3}] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 5 y^{3}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 y^{3}$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$- 4 - 5 \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$- 4 - 5 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 2.3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$- 4 - 5 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 2.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$- 4 - 5 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 2.3.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- 4 - 5 (3 y^{2} y') + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 2.3.4

Multiplique $3$ por $- 5$ .

$- 4 - 15 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 2.4

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 4 - 15 y^{2} y' + 0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 2.5

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Etapa 2.5.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 4 - 15 y^{2} y' + 0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 4 - 15 y^{2} y' + 0 - (2 x)$

Etapa 2.5.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 4 - 15 y^{2} y' + 0 - 2 x$

Etapa 2.6

Simplifique.

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Etapa 2.6.1

Some $- 4 - 15 y^{2} y'$ e $0$ .

$- 4 - 15 y^{2} y' - 2 x$

Etapa 2.6.2

Reordene os termos.

$- 15 y^{2} y' - 2 x - 4$

Etapa 3

Como $0$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $0$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$- 15 y^{2} y' - 2 x - 4 = 0$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Mova todos os termos que não contêm $y'$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.1.1

Some $2 x$ aos dois lados da equação.

$- 15 y^{2} y' - 4 = 2 x$

Etapa 5.1.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$- 15 y^{2} y' = 2 x + 4$

Etapa 5.2

Divida cada termo em $- 15 y^{2} y' = 2 x + 4$ por $- 15 y^{2}$ e simplifique.

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Etapa 5.2.1

Divida cada termo em $- 15 y^{2} y' = 2 x + 4$ por $- 15 y^{2}$ .

$\frac{- 15 y^{2} y'}{- 15 y^{2}} = \frac{2 x}{- 15 y^{2}} + \frac{4}{- 15 y^{2}}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 15$ .

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Etapa 5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 15 y^{2} y'}{- 15 y^{2}} = \frac{2 x}{- 15 y^{2}} + \frac{4}{- 15 y^{2}}$

Etapa 5.2.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{2 x}{- 15 y^{2}} + \frac{4}{- 15 y^{2}}$

Etapa 5.2.2.2

Cancele o fator comum de $y^{2}$ .

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Etapa 5.2.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{2 x}{- 15 y^{2}} + \frac{4}{- 15 y^{2}}$

Etapa 5.2.2.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{2 x}{- 15 y^{2}} + \frac{4}{- 15 y^{2}}$

Etapa 5.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.3.1.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{2 x}{15 y^{2}} + \frac{4}{- 15 y^{2}}$

Etapa 5.2.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{2 x}{15 y^{2}} - \frac{4}{15 y^{2}}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{15 y^{2}} - \frac{4}{15 y^{2}}$