Cálculo Exemplos

$e^{- x} + e^{2 x}$

Etapa 1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{- x} + e^{2 x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

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Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $- x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $- x$ .

$e^{- x} \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Etapa 2.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{- x} (- 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Etapa 2.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$e^{- x} \cdot - 1 + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Etapa 2.5

Mova $- 1$ para a esquerda de $e^{- x}$ .

$- 1 \cdot e^{- x} + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Etapa 2.6

Reescreva $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$- e^{- x} + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $2 x$ .

$- e^{- x} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 3.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$- e^{- x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $2 x$ .

$- e^{- x} + e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 3.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- e^{- x} + e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- e^{- x} + e^{2 x} (2 \cdot 1)$

Etapa 3.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$- e^{- x} + e^{2 x} \cdot 2$

Etapa 3.5

Mova $2$ para a esquerda de $e^{2 x}$ .

$- e^{- x} + 2 e^{2 x}$

Etapa 4

Reordene os termos.

$2 e^{2 x} - e^{- x}$