Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{1}{{(5 x - 1)}^{4}}$

Etapa 1

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 2

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{1}{{(5 x - 1)}^{4}} d x$

Etapa 3

Deixe $u = 5 x - 1$ . Depois, $d u = 5 d x$ , então, $\frac{1}{5} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 3.1

Deixe $u = 5 x - 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 3.1.1

Diferencie $5 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [5 x - 1]$

Etapa 3.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 3.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Etapa 3.1.3.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 3.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 3.1.3.3

Multiplique $5$ por $1$ .

$5 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 3.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 3.1.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$5 + 0$

Etapa 3.1.4.2

Some $5$ e $0$ .

$5$

Etapa 3.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{4}} \cdot \frac{1}{5} d u$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Multiplique $\frac{1}{u^{4}}$ por $\frac{1}{5}$ .

$\int \frac{1}{u^{4} \cdot 5} d u$

Etapa 4.2

Mova $5$ para a esquerda de $u^{4}$ .

$\int \frac{1}{5 u^{4}} d u$

Etapa 5

Como $\frac{1}{5}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{5}$ para fora da integral.

$\frac{1}{5} \int \frac{1}{u^{4}} d u$

Etapa 6

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 6.1

Mova $u^{4}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\frac{1}{5} \int {(u^{4})}^{- 1} d u$

Etapa 6.2

Multiplique os expoentes em ${(u^{4})}^{- 1}$ .

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Etapa 6.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{5} \int u^{4 \cdot - 1} d u$

Etapa 6.2.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$\frac{1}{5} \int u^{- 4} d u$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- 4}$ com relação a $u$ é $- \frac{1}{3} u^{- 3}$ .

$\frac{1}{5} (- \frac{1}{3} u^{- 3} + C)$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Reescreva $\frac{1}{5} (- \frac{1}{3} u^{- 3} + C)$ como $\frac{1}{5} (- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u^{3}}) + C$ .

$\frac{1}{5} (- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u^{3}}) + C$

Etapa 8.2

Simplifique.

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Etapa 8.2.1

Multiplique $\frac{1}{u^{3}}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{5} (- \frac{1}{u^{3} \cdot 3}) + C$

Etapa 8.2.2

Mova $3$ para a esquerda de $u^{3}$ .

$\frac{1}{5} (- \frac{1}{3 \cdot u^{3}}) + C$

Etapa 8.2.3

Multiplique $\frac{1}{5}$ por $\frac{1}{3 u^{3}}$ .

$- \frac{1}{5 (3 u^{3})} + C$

Etapa 8.2.4

Multiplique $3$ por $5$ .

$- \frac{1}{15 u^{3}} + C$

Etapa 9

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $5 x - 1$ .

$- \frac{1}{15 {(5 x - 1)}^{3}} + C$

Etapa 10

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \frac{1}{{(5 x - 1)}^{4}}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{15 {(5 x - 1)}^{3}} + C$