Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} - 3 x}{2 x^{2} - 9 x}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} x^{2} - 3 x}{lim_{x \to 0} 2 x^{2} - 9 x}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x^{2} - lim_{x \to 0} 3 x}{lim_{x \to 0} 2 x^{2} - 9 x}$

Etapa 1.1.2.2

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} 3 x}{lim_{x \to 0} 2 x^{2} - 9 x}$

Etapa 1.1.2.3

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 2 x^{2} - 9 x}$

Etapa 1.1.2.4

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.1.2.4.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0^{2} - 3 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 2 x^{2} - 9 x}$

Etapa 1.1.2.4.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0^{2} - 3 \cdot 0}{lim_{x \to 0} 2 x^{2} - 9 x}$

Etapa 1.1.2.5

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.2.5.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{0 - 3 \cdot 0}{lim_{x \to 0} 2 x^{2} - 9 x}$

Etapa 1.1.2.5.1.2

Multiplique $- 3$ por $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} 2 x^{2} - 9 x}$

Etapa 1.1.2.5.2

Some $0$ e $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 2 x^{2} - 9 x}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 2 x^{2} - lim_{x \to 0} 9 x}$

Etapa 1.1.3.2

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{2 lim_{x \to 0} x^{2} - lim_{x \to 0} 9 x}$

Etapa 1.1.3.3

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{2 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} 9 x}$

Etapa 1.1.3.4

Mova o termo $9$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{2 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 9 lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.3.5

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.1.3.5.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{2 \cdot 0^{2} - 9 lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.3.5.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{2 \cdot 0^{2} - 9 \cdot 0}$

Etapa 1.1.3.6

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.3.6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.3.6.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{0}{2 \cdot 0 - 9 \cdot 0}$

Etapa 1.1.3.6.1.2

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{0}{0 - 9 \cdot 0}$

Etapa 1.1.3.6.1.3

Multiplique $- 9$ por $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Etapa 1.1.3.6.2

Some $0$ e $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.6.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.7

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} - 3 x}{2 x^{2} - 9 x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 9 x]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 9 x]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 3 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 9 x]}$

Etapa 1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 9 x]}$

Etapa 1.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Etapa 1.3.4.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x - 3 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 9 x]}$

Etapa 1.3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x - 3 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 9 x]}$

Etapa 1.3.4.3

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x - 3}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 9 x]}$

Etapa 1.3.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{2} - 9 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x - 3}{\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x]}$

Etapa 1.3.6

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Etapa 1.3.6.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{2}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x - 3}{2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x]}$

Etapa 1.3.6.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x - 3}{2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 9 x]}$

Etapa 1.3.6.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x - 3}{4 x + \frac{d}{d x} [- 9 x]}$

Etapa 1.3.7

Avalie $\frac{d}{d x} [- 9 x]$ .

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Etapa 1.3.7.1

Como $- 9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 9 x$ em relação a $x$ é $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x - 3}{4 x - 9 \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.7.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x - 3}{4 x - 9 \cdot 1}$

Etapa 1.3.7.3

Multiplique $- 9$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x - 3}{4 x - 9}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 2 x - 3}{lim_{x \to 0} 4 x - 9}$

Etapa 2.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 2 x - lim_{x \to 0} 3}{lim_{x \to 0} 4 x - 9}$

Etapa 2.3

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 3}{lim_{x \to 0} 4 x - 9}$

Etapa 2.4

Avalie o limite de $3$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{2 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 0} 4 x - 9}$

Etapa 2.5

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{2 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 0} 4 x - lim_{x \to 0} 9}$

Etapa 2.6

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 3}{4 lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 9}$

Etapa 2.7

Avalie o limite de $9$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{2 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 3}{4 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 9}$

Etapa 3

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 3.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 3}{4 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 9}$

Etapa 3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 3}{4 \cdot 0 - 1 \cdot 9}$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{0 - 1 \cdot 3}{4 \cdot 0 - 1 \cdot 9}$

Etapa 4.1.2

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{0 - 3}{4 \cdot 0 - 1 \cdot 9}$

Etapa 4.1.3

Subtraia $3$ de $0$ .

$\frac{- 3}{4 \cdot 0 - 1 \cdot 9}$

Etapa 4.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.2.1

Multiplique $4$ por $0$ .

$\frac{- 3}{0 - 1 \cdot 9}$

Etapa 4.2.2

Multiplique $- 1$ por $9$ .

$\frac{- 3}{0 - 9}$

Etapa 4.2.3

Subtraia $9$ de $0$ .

$\frac{- 3}{- 9}$

Etapa 4.3

Cancele o fator comum de $- 3$ e $- 9$ .

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Etapa 4.3.1

Fatore $- 3$ de $- 3$ .

$\frac{- 3 (1)}{- 9}$

Etapa 4.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.3.2.1

Fatore $- 3$ de $- 9$ .

$\frac{- 3 \cdot 1}{- 3 \cdot 3}$

Etapa 4.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{- 3 \cdot 1}{- 3 \cdot 3}$

Etapa 4.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{3}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{1}{3}$

Forma decimal:

$0.\overline{3}$