Cálculo Exemplos

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2 x^{2} + 7 x - 4}{2 x - 1}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x^{2} + 7 x - 4}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\frac{1}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x^{2} + lim_{x \to \frac{1}{2}} 7 x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 4}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}$

Etapa 1.1.2.2

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to \frac{1}{2}} x^{2} + lim_{x \to \frac{1}{2}} 7 x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 4}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}$

Etapa 1.1.2.3

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{2 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} + lim_{x \to \frac{1}{2}} 7 x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 4}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}$

Etapa 1.1.2.4

Mova o termo $7$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{2 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} + 7 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 4}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}$

Etapa 1.1.2.5

Avalie o limite de $4$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} + 7 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 4}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}$

Etapa 1.1.2.6

Avalie os limites substituindo $\frac{1}{2}$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.1.2.6.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{1}{2}$ por $x$ .

$\frac{2 {(\frac{1}{2})}^{2} + 7 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 4}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}$

Etapa 1.1.2.6.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{1}{2}$ por $x$ .

$\frac{2 {(\frac{1}{2})}^{2} + 7 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 4}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}$

Etapa 1.1.2.7

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.2.7.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2 \frac{1^{2}}{2^{2}} + 7 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 4}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}$

Etapa 1.1.2.7.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.1.2.7.1.2.1

Fatore $2$ de $2^{2}$ .

$\frac{2 \frac{1^{2}}{2 \cdot 2} + 7 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 4}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}$

Etapa 1.1.2.7.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \frac{1^{2}}{2 \cdot 2} + 7 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 4}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}$

Etapa 1.1.2.7.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{1^{2}}{2} + 7 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 4}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}$

Etapa 1.1.2.7.1.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{\frac{1}{2} + 7 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 4}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}$

Etapa 1.1.2.7.1.4

Combine $7$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{2} + \frac{7}{2} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}$

Etapa 1.1.2.7.1.5

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{\frac{1}{2} + \frac{7}{2} - 4}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}$

Etapa 1.1.2.7.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 4 + \frac{1 + 7}{2}}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}$

Etapa 1.1.2.7.3

Some $1$ e $7$ .

$\frac{- 4 + \frac{8}{2}}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}$

Etapa 1.1.2.7.4

Divida $8$ por $2$ .

$\frac{- 4 + 4}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}$

Etapa 1.1.2.7.5

Some $- 4$ e $4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\frac{1}{2}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 1}$

Etapa 1.1.3.1.2

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{2 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 1}$

Etapa 1.1.3.1.3

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\frac{1}{2}$ .

$\frac{0}{2 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 1}$

Etapa 1.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{1}{2}$ por $x$ .

$\frac{0}{2 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 1}$

Etapa 1.1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.3.3.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.1.3.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{0}{2 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 1}$

Etapa 1.1.3.3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Etapa 1.1.3.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Etapa 1.1.3.3.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2 x^{2} + 7 x - 4}{2 x - 1} = lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{2} + 7 x - 4]}{\frac{d}{d x} [2 x - 1]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{2} + 7 x - 4]}{\frac{d}{d x} [2 x - 1]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{2} + 7 x - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [2 x - 1]}$

Etapa 1.3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Etapa 1.3.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{2}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [2 x - 1]}$

Etapa 1.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2 (2 x) + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [2 x - 1]}$

Etapa 1.3.3.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{4 x + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [2 x - 1]}$

Etapa 1.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [7 x]$ .

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Etapa 1.3.4.1

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7 x$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{4 x + 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [2 x - 1]}$

Etapa 1.3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{4 x + 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [2 x - 1]}$

Etapa 1.3.4.3

Multiplique $7$ por $1$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{4 x + 7 + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [2 x - 1]}$

Etapa 1.3.5

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{4 x + 7 + 0}{\frac{d}{d x} [2 x - 1]}$

Etapa 1.3.6

Some $4 x + 7$ e $0$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{4 x + 7}{\frac{d}{d x} [2 x - 1]}$

Etapa 1.3.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{4 x + 7}{\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 1.3.8

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Etapa 1.3.8.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{4 x + 7}{2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 1.3.8.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{4 x + 7}{2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 1.3.8.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{4 x + 7}{2 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 1.3.9

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{4 x + 7}{2 + 0}$

Etapa 1.3.10

Some $2$ e $0$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{4 x + 7}{2}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Mova o termo $\frac{1}{2}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x + 7$

Etapa 2.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x + lim_{x \to \frac{1}{2}} 7)$

Etapa 2.3

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2} (4 lim_{x \to \frac{1}{2}} x + lim_{x \to \frac{1}{2}} 7)$

Etapa 2.4

Avalie o limite de $7$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (4 lim_{x \to \frac{1}{2}} x + 7)$

Etapa 3

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{1}{2}$ por $x$ .

$\frac{1}{2} (4 (\frac{1}{2}) + 7)$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.1.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{1}{2} (2 (2) \frac{1}{2} + 7)$

Etapa 4.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2} (2 \cdot 2 \frac{1}{2} + 7)$

Etapa 4.1.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2} (2 + 7)$

Etapa 4.2

Some $2$ e $7$ .

$\frac{1}{2} \cdot 9$

Etapa 4.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $9$ .

$\frac{9}{2}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{9}{2}$

Forma decimal:

$4.5$