Cálculo Exemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^{2} + 3}}{2 x + 1}$

Etapa 1

Divida o numerador e o denominador pela potência mais alta de $x$ no denominador, que é $\sqrt{x^{2}} = x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}}{\frac{2 x}{x} + \frac{1}{x}}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}}{2 + \frac{1}{x}}$

Etapa 2.2

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 2.2.1

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}}{2 + \frac{1}{x}}$

Etapa 2.2.2

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{1 + \frac{3}{x^{2}}}}{2 + \frac{1}{x}}$

Etapa 2.3

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{3}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Etapa 2.4

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Etapa 2.5

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Etapa 2.6

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\sqrt{1 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Etapa 2.7

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{\sqrt{1 + 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Etapa 3

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x^{2}}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\sqrt{1 + 3 \cdot 0}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Etapa 4

Avalie o limite.

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Etapa 4.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\sqrt{1 + 3 \cdot 0}}{lim_{x \to \infty} 2 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Etapa 4.2

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\sqrt{1 + 3 \cdot 0}}{2 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Etapa 5

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\sqrt{1 + 3 \cdot 0}}{2 + 0}$

Etapa 6

Simplifique a resposta.

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Etapa 6.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1.1

Multiplique $3$ por $0$ .

$\frac{\sqrt{1 + 0}}{2 + 0}$

Etapa 6.1.2

Some $1$ e $0$ .

$\frac{\sqrt{1}}{2 + 0}$

Etapa 6.1.3

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$\frac{1}{2 + 0}$

Etapa 6.2

Some $2$ e $0$ .

$\frac{1}{2}$

Etapa 7

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{1}{2}$

Forma decimal:

$0.5$