Cálculo Exemplos

$\int \frac{2}{\sqrt[3]{3 x}} d x$

Etapa 1

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int \frac{1}{\sqrt[3]{3 x}} d x$

Etapa 2

Deixe $u = 3 x$ . Depois, $d u = 3 d x$ , então, $\frac{1}{3} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u = 3 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Etapa 2.1.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Etapa 2.1.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$3$

Etapa 2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$2 \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt[3]{u}}$ por $\frac{1}{3}$ .

$2 \int \frac{1}{\sqrt[3]{u} \cdot 3} d u$

Etapa 3.2

Mova $3$ para a esquerda de $\sqrt[3]{u}$ .

$2 \int \frac{1}{3 \sqrt[3]{u}} d u$

Etapa 4

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$2 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u)$

Etapa 5

Combine frações.

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Etapa 5.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $2$ .

$\frac{2}{3} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

Etapa 5.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 5.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{u}$ como $u^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{2}{3} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

Etapa 5.2.2

Mova $u^{\frac{1}{3}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\frac{2}{3} \int {(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d u$

Etapa 5.2.3

Multiplique os expoentes em ${(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Etapa 5.2.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} \int u^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d u$

Etapa 5.2.3.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $- 1$ .

$\frac{2}{3} \int u^{\frac{- 1}{3}} d u$

Etapa 5.2.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{2}{3} \int u^{- \frac{1}{3}} d u$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- \frac{1}{3}}$ com relação a $u$ é $\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C)$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Reescreva $\frac{2}{3} (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C)$ como $\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$

Etapa 7.2

Simplifique.

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Etapa 7.2.1

Multiplique $\frac{2}{3}$ por $\frac{3}{2}$ .

$\frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 2} u^{\frac{2}{3}} + C$

Etapa 7.2.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{6}{3 \cdot 2} u^{\frac{2}{3}} + C$

Etapa 7.2.3

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{6}{6} u^{\frac{2}{3}} + C$

Etapa 7.2.4

Cancele o fator comum de $6$ .

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Etapa 7.2.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{6}{6} u^{\frac{2}{3}} + C$

Etapa 7.2.4.2

Reescreva a expressão.

$1 u^{\frac{2}{3}} + C$

Etapa 7.2.5

Multiplique $u^{\frac{2}{3}}$ por $1$ .

$u^{\frac{2}{3}} + C$

Etapa 8

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 x$ .

${(3 x)}^{\frac{2}{3}} + C$