Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} {(x + 1)}^{\cot (x)}$

Etapa 1

Use as propriedades dos logaritmos para simplificar o limite.

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Etapa 1.1

Reescreva ${(x + 1)}^{\cot (x)}$ como $e^{\ln ({(x + 1)}^{\cot (x)})}$ .

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({(x + 1)}^{\cot (x)})}$

Etapa 1.2

Expanda $\ln ({(x + 1)}^{\cot (x)})$ movendo $\cot (x)$ para fora do logaritmo.

$lim_{x \to 0} e^{\cot (x) \ln (x + 1)}$

Etapa 2

Mova o limite para o expoente.

$e^{lim_{x \to 0} \cot (x) \ln (x + 1)}$

Etapa 3

Considere o valor crítico esquerdo.

$lim_{x \to 0^{-}} \cot (x) \ln (x + 1)$

Etapa 4

Crie uma tabela para mostrar o comportamento da função $\cot (x) \ln (x + 1)$ à medida que $x$ se aproxima de $0$ a partir da esquerda.

$\begin{array}{c} x & \cot (x) \ln (x + 1) \\ - 0.1 & 1.05009079 \\ - 0.01 & 1.00500008 \\ - 0.001 & 1.0005 \\ - 0.0001 & 1.00005 \\ - 0.00001 & 1.00000499 \end{array}$

Etapa 5

À medida que os valores de $x$ se aproximam de $0$ , os valores da função se aproximam de $1$ . Portanto, o limite de $\cot (x) \ln (x + 1)$ à medida que $x$ se aproxima de $0$ a partir da esquerda é $1$ .

$1$

Etapa 6

Considere o valor crítico direito.

$lim_{x \to 0^{+}} \cot (x) \ln (x + 1)$

Etapa 7

Crie uma tabela para mostrar o comportamento da função $\cot (x) \ln (x + 1)$ à medida que $x$ se aproxima de $0$ a partir da direita.

$\begin{array}{c} x & \cot (x) \ln (x + 1) \\ 0.1 & 0.94992267 \\ 0.01 & 0.99499991 \\ 0.001 & 0.99949999 \\ 0.0001 & 0.99995 \\ 0.00001 & 0.99999499 \end{array}$

Etapa 8

À medida que os valores de $x$ se aproximam de $0$ , os valores da função se aproximam de $1$ . Portanto, o limite de $\cot (x) \ln (x + 1)$ à medida que $x$ se aproxima de $0$ a partir da direita é $1$ .

$e^{1}$

Etapa 9

Simplifique.

$e$

Etapa 10

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$e$

Forma decimal:

$2.71828182 \dots$