Cálculo Exemplos

$y = {(\frac{3 x^{2} + 2}{x + 1})}^{7}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{7}$ e $g (x) = \frac{3 x^{2} + 2}{x + 1}$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{3 x^{2} + 2}{x + 1}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{7}] \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2} + 2}{x + 1}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 7$ .

$7 u^{6} \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2} + 2}{x + 1}]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{3 x^{2} + 2}{x + 1}$ .

$7 {(\frac{3 x^{2} + 2}{x + 1})}^{6} \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2} + 2}{x + 1}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 3 x^{2} + 2$ e $g (x) = x + 1$ .

$7 {(\frac{3 x^{2} + 2}{x + 1})}^{6} \frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 2] - (3 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{2} + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$7 {(\frac{3 x^{2} + 2}{x + 1})}^{6} \frac{(x + 1) (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]) - (3 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$7 {(\frac{3 x^{2} + 2}{x + 1})}^{6} \frac{(x + 1) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]) - (3 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$7 {(\frac{3 x^{2} + 2}{x + 1})}^{6} \frac{(x + 1) (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [2]) - (3 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.4

Multiplique $2$ por $3$ .

$7 {(\frac{3 x^{2} + 2}{x + 1})}^{6} \frac{(x + 1) (6 x + \frac{d}{d x} [2]) - (3 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.5

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$7 {(\frac{3 x^{2} + 2}{x + 1})}^{6} \frac{(x + 1) (6 x + 0) - (3 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.6.1

Some $6 x$ e $0$ .

$7 {(\frac{3 x^{2} + 2}{x + 1})}^{6} \frac{(x + 1) (6 x) - (3 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.6.2

Mova $6$ para a esquerda de $x + 1$ .

$7 {(\frac{3 x^{2} + 2}{x + 1})}^{6} \frac{6 \cdot (x + 1) x - (3 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$7 {(\frac{3 x^{2} + 2}{x + 1})}^{6} \frac{6 (x + 1) x - (3 x^{2} + 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$7 {(\frac{3 x^{2} + 2}{x + 1})}^{6} \frac{6 (x + 1) x - (3 x^{2} + 2) (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.9

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$7 {(\frac{3 x^{2} + 2}{x + 1})}^{6} \frac{6 (x + 1) x - (3 x^{2} + 2) (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.10

Combine frações.

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Etapa 3.10.1

Some $1$ e $0$ .

$7 {(\frac{3 x^{2} + 2}{x + 1})}^{6} \frac{6 (x + 1) x - (3 x^{2} + 2) \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.10.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$7 {(\frac{3 x^{2} + 2}{x + 1})}^{6} \frac{6 (x + 1) x - (3 x^{2} + 2)}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.10.3

Combine $\frac{6 (x + 1) x - (3 x^{2} + 2)}{{(x + 1)}^{2}}$ e $7$ .

$\frac{(6 (x + 1) x - (3 x^{2} + 2)) \cdot 7}{{(x + 1)}^{2}} {(\frac{3 x^{2} + 2}{x + 1})}^{6}$

Etapa 3.10.4

Mova $7$ para a esquerda de $6 (x + 1) x - (3 x^{2} + 2)$ .

$\frac{7 \cdot (6 (x + 1) x - (3 x^{2} + 2))}{{(x + 1)}^{2}} {(\frac{3 x^{2} + 2}{x + 1})}^{6}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Aplique a regra do produto a $\frac{3 x^{2} + 2}{x + 1}$ .

$\frac{7 (6 (x + 1) x - (3 x^{2} + 2))}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6}}{{(x + 1)}^{6}}$

Etapa 4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{7 ((6 x + 6 \cdot 1) x - (3 x^{2} + 2))}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6}}{{(x + 1)}^{6}}$

Etapa 4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{7 (6 x \cdot x + 6 \cdot 1 x - (3 x^{2} + 2))}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6}}{{(x + 1)}^{6}}$

Etapa 4.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{7 (6 x \cdot x + 6 \cdot 1 x - (3 x^{2}) - 1 \cdot 2)}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6}}{{(x + 1)}^{6}}$

Etapa 4.5

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{7 (6 x \cdot x) + 7 (6 \cdot 1 x) + 7 (- (3 x^{2})) + 7 (- 1 \cdot 2)}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6}}{{(x + 1)}^{6}}$

Etapa 4.6

Combine os termos.

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Etapa 4.6.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{7 (6 (x^{1} x)) + 7 (6 \cdot 1 x) + 7 (- (3 x^{2})) + 7 (- 1 \cdot 2)}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6}}{{(x + 1)}^{6}}$

Etapa 4.6.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{7 (6 (x^{1} x^{1})) + 7 (6 \cdot 1 x) + 7 (- (3 x^{2})) + 7 (- 1 \cdot 2)}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6}}{{(x + 1)}^{6}}$

Etapa 4.6.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{7 (6 x^{1 + 1}) + 7 (6 \cdot 1 x) + 7 (- (3 x^{2})) + 7 (- 1 \cdot 2)}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6}}{{(x + 1)}^{6}}$

Etapa 4.6.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{7 (6 x^{2}) + 7 (6 \cdot 1 x) + 7 (- (3 x^{2})) + 7 (- 1 \cdot 2)}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6}}{{(x + 1)}^{6}}$

Etapa 4.6.5

Multiplique $6$ por $7$ .

$\frac{42 x^{2} + 7 (6 \cdot 1 x) + 7 (- (3 x^{2})) + 7 (- 1 \cdot 2)}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6}}{{(x + 1)}^{6}}$

Etapa 4.6.6

Multiplique $6$ por $1$ .

$\frac{42 x^{2} + 7 (6 x) + 7 (- (3 x^{2})) + 7 (- 1 \cdot 2)}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6}}{{(x + 1)}^{6}}$

Etapa 4.6.7

Multiplique $6$ por $7$ .

$\frac{42 x^{2} + 42 x + 7 (- (3 x^{2})) + 7 (- 1 \cdot 2)}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6}}{{(x + 1)}^{6}}$

Etapa 4.6.8

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{42 x^{2} + 42 x + 7 (- 3 x^{2}) + 7 (- 1 \cdot 2)}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6}}{{(x + 1)}^{6}}$

Etapa 4.6.9

Multiplique $- 3$ por $7$ .

$\frac{42 x^{2} + 42 x - 21 x^{2} + 7 (- 1 \cdot 2)}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6}}{{(x + 1)}^{6}}$

Etapa 4.6.10

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{42 x^{2} + 42 x - 21 x^{2} + 7 \cdot - 2}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6}}{{(x + 1)}^{6}}$

Etapa 4.6.11

Multiplique $7$ por $- 2$ .

$\frac{42 x^{2} + 42 x - 21 x^{2} - 14}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6}}{{(x + 1)}^{6}}$

Etapa 4.6.12

Subtraia $21 x^{2}$ de $42 x^{2}$ .

$\frac{21 x^{2} + 42 x - 14}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6}}{{(x + 1)}^{6}}$

Etapa 4.6.13

Multiplique $\frac{21 x^{2} + 42 x - 14}{{(x + 1)}^{2}}$ por $\frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6}}{{(x + 1)}^{6}}$ .

$\frac{(21 x^{2} + 42 x - 14) {(3 x^{2} + 2)}^{6}}{{(x + 1)}^{2} {(x + 1)}^{6}}$

Etapa 4.6.14

Multiplique ${(x + 1)}^{2}$ por ${(x + 1)}^{6}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.6.14.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{(21 x^{2} + 42 x - 14) {(3 x^{2} + 2)}^{6}}{{(x + 1)}^{2 + 6}}$

Etapa 4.6.14.2

Some $2$ e $6$ .

$\frac{(21 x^{2} + 42 x - 14) {(3 x^{2} + 2)}^{6}}{{(x + 1)}^{8}}$

Etapa 4.7

Reordene os termos.

$\frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6} (21 x^{2} + 42 x - 14)}{{(x + 1)}^{8}}$

Etapa 4.8

Fatore $7$ de $21 x^{2} + 42 x - 14$ .

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Etapa 4.8.1

Fatore $7$ de $21 x^{2}$ .

$\frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6} (7 (3 x^{2}) + 42 x - 14)}{{(x + 1)}^{8}}$

Etapa 4.8.2

Fatore $7$ de $42 x$ .

$\frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6} (7 (3 x^{2}) + 7 (6 x) - 14)}{{(x + 1)}^{8}}$

Etapa 4.8.3

Fatore $7$ de $- 14$ .

$\frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6} (7 (3 x^{2}) + 7 (6 x) + 7 (- 2))}{{(x + 1)}^{8}}$

Etapa 4.8.4

Fatore $7$ de $7 (3 x^{2}) + 7 (6 x)$ .

$\frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6} (7 (3 x^{2} + 6 x) + 7 (- 2))}{{(x + 1)}^{8}}$

Etapa 4.8.5

Fatore $7$ de $7 (3 x^{2} + 6 x) + 7 (- 2)$ .

$\frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6} (7 (3 x^{2} + 6 x - 2))}{{(x + 1)}^{8}}$

$\frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6} \cdot 7 (3 x^{2} + 6 x - 2)}{{(x + 1)}^{8}}$

Etapa 4.9

Mova $7$ para a esquerda de ${(3 x^{2} + 2)}^{6}$ .

$\frac{7 {(3 x^{2} + 2)}^{6} (3 x^{2} + 6 x - 2)}{{(x + 1)}^{8}}$