Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 4} \frac{x^{3} \sqrt{x} - 128}{x - 4}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 4} x^{3} \sqrt{x} - 128}{lim_{x \to 4} x - 4}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $4$ .

$\frac{lim_{x \to 4} x^{3} \sqrt{x} - lim_{x \to 4} 128}{lim_{x \to 4} x - 4}$

Etapa 1.1.2.2

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $4$ .

$\frac{lim_{x \to 4} x^{3} \cdot lim_{x \to 4} \sqrt{x} - lim_{x \to 4} 128}{lim_{x \to 4} x - 4}$

Etapa 1.1.2.3

Mova o expoente $3$ de $x^{3}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{3} \cdot lim_{x \to 4} \sqrt{x} - lim_{x \to 4} 128}{lim_{x \to 4} x - 4}$

Etapa 1.1.2.4

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{3} \cdot \sqrt{lim_{x \to 4} x} - lim_{x \to 4} 128}{lim_{x \to 4} x - 4}$

Etapa 1.1.2.5

Avalie o limite de $128$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $4$ .

$\frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{3} \cdot \sqrt{lim_{x \to 4} x} - 1 \cdot 128}{lim_{x \to 4} x - 4}$

Etapa 1.1.2.6

Avalie os limites substituindo $4$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.1.2.6.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $4$ por $x$ .

$\frac{4^{3} \cdot \sqrt{lim_{x \to 4} x} - 1 \cdot 128}{lim_{x \to 4} x - 4}$

Etapa 1.1.2.6.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $4$ por $x$ .

$\frac{4^{3} \cdot \sqrt{4} - 1 \cdot 128}{lim_{x \to 4} x - 4}$

Etapa 1.1.2.7

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.2.7.1.1

Eleve $4$ à potência de $3$ .

$\frac{64 \cdot \sqrt{4} - 1 \cdot 128}{lim_{x \to 4} x - 4}$

Etapa 1.1.2.7.1.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{64 \cdot \sqrt{2^{2}} - 1 \cdot 128}{lim_{x \to 4} x - 4}$

Etapa 1.1.2.7.1.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{64 \cdot 2 - 1 \cdot 128}{lim_{x \to 4} x - 4}$

Etapa 1.1.2.7.1.4

Multiplique $64$ por $2$ .

$\frac{128 - 1 \cdot 128}{lim_{x \to 4} x - 4}$

Etapa 1.1.2.7.1.5

Multiplique $- 1$ por $128$ .

$\frac{128 - 128}{lim_{x \to 4} x - 4}$

Etapa 1.1.2.7.2

Subtraia $128$ de $128$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 4} x - 4}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 4}$

Etapa 1.1.3.1.2

Avalie o limite de $4$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4}$

Etapa 1.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $4$ por $x$ .

$\frac{0}{4 - 1 \cdot 4}$

Etapa 1.1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.3.3.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{0}{4 - 4}$

Etapa 1.1.3.3.2

Subtraia $4$ de $4$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 4} \frac{x^{3} \sqrt{x} - 128}{x - 4} = lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} \sqrt{x} - 128]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} \sqrt{x} - 128]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} \sqrt{x} - 128$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3} \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 128]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

Etapa 1.3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [x^{3} \sqrt{x}]$ .

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Etapa 1.3.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

Etapa 1.3.3.2

Multiplique $x^{3}$ por $x^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.3.3.2.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3 + \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

Etapa 1.3.3.2.2

Para escrever $3$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

Etapa 1.3.3.2.3

Combine $3$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x^{\frac{3 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

Etapa 1.3.3.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x^{\frac{3 \cdot 2 + 1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

Etapa 1.3.3.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.3.3.2.5.1

Multiplique $3$ por $2$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x^{\frac{6 + 1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

Etapa 1.3.3.2.5.2

Some $6$ e $1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

Etapa 1.3.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{7}{2}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

Etapa 1.3.3.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

Etapa 1.3.3.5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

Etapa 1.3.3.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{7}{2} x^{\frac{7 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

Etapa 1.3.3.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.3.3.7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{7}{2} x^{\frac{7 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

Etapa 1.3.3.7.2

Subtraia $2$ de $7$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{7}{2} x^{\frac{5}{2}} + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

Etapa 1.3.4

Como $- 128$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 128$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{7}{2} x^{\frac{5}{2}} + 0}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

Etapa 1.3.5

Simplifique.

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Etapa 1.3.5.1

Some $\frac{7}{2} x^{\frac{5}{2}}$ e $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{7}{2} x^{\frac{5}{2}}}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

Etapa 1.3.5.2

Combine $\frac{7}{2}$ e $x^{\frac{5}{2}}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

Etapa 1.3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Etapa 1.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2}}{1 + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Etapa 1.3.8

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2}}{1 + 0}$

Etapa 1.3.9

Some $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2}}{1}$

Etapa 1.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to 4} \frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2} \cdot 1$

Etapa 1.5

Multiplique $\frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2}$ por $1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Mova o termo $\frac{7}{2}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{7}{2} lim_{x \to 4} x^{\frac{5}{2}}$

Etapa 2.2

Mova o expoente $\frac{5}{2}$ de $x^{\frac{5}{2}}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{7}{2} {(lim_{x \to 4} x)}^{\frac{5}{2}}$

Etapa 3

Avalie o limite de $x$ substituindo $4$ por $x$ .

$\frac{7}{2} \cdot 4^{\frac{5}{2}}$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{7}{2} \cdot {(2^{2})}^{\frac{5}{2}}$

Etapa 4.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{7}{2} \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})}$

Etapa 4.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{7}{2} \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})}$

Etapa 4.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{7}{2} \cdot 2^{5}$

Etapa 4.4

Eleve $2$ à potência de $5$ .

$\frac{7}{2} \cdot 32$

Etapa 4.5

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.5.1

Fatore $2$ de $32$ .

$\frac{7}{2} \cdot (2 (16))$

Etapa 4.5.2

Cancele o fator comum.

$\frac{7}{2} \cdot (2 \cdot 16)$

Etapa 4.5.3

Reescreva a expressão.

$7 \cdot 16$

Etapa 4.6

Multiplique $7$ por $16$ .

$112$