Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{1} 5^{\frac{3 x}{2}} d x$

Etapa 1

Deixe $u = \frac{3 x}{2}$ . Depois, $d u = \frac{3}{2} d x$ , então, $\frac{2}{3} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = \frac{3 x}{2}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $\frac{3 x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x}{2}]$

Etapa 1.1.2

Como $\frac{3}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{3 x}{2}$ em relação a $x$ é $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{3}{2} \cdot 1$

Etapa 1.1.4

Multiplique $\frac{3}{2}$ por $1$ .

$\frac{3}{2}$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = \frac{3 x}{2}$ .

$u_{lower} = \frac{3 \cdot 0}{2}$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Cancele o fator comum de $0$ e $2$ .

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Etapa 1.3.1.1

Fatore $2$ de $3 \cdot 0$ .

$u_{lower} = \frac{2 (3 \cdot 0)}{2}$

Etapa 1.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.3.1.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$u_{lower} = \frac{2 (3 \cdot 0)}{2 (1)}$

Etapa 1.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$u_{lower} = \frac{2 (3 \cdot 0)}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$u_{lower} = \frac{3 \cdot 0}{1}$

Etapa 1.3.1.2.4

Divida $3 \cdot 0$ por $1$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 0$

Etapa 1.3.2

Multiplique $3$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = \frac{3 x}{2}$ .

$u_{upper} = \frac{3 \cdot 1}{2}$

Etapa 1.5

Multiplique $3$ por $1$ .

$u_{upper} = \frac{3}{2}$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{3}{2}$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{0}^{\frac{3}{2}} 5^{u} \cdot \frac{1}{\frac{3}{2}} d u$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{3}{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{3}{2}} 5^{u} \cdot (1 (\frac{2}{3})) d u$

Etapa 2.2

Multiplique $\frac{2}{3}$ por $1$ .

$\int_{0}^{\frac{3}{2}} 5^{u} \cdot \frac{2}{3} d u$

Etapa 2.3

Combine $5^{u}$ e $\frac{2}{3}$ .

$\int_{0}^{\frac{3}{2}} \frac{5^{u} \cdot 2}{3} d u$

Etapa 2.4

Mova $2$ para a esquerda de $5^{u}$ .

$\int_{0}^{\frac{3}{2}} \frac{2 \cdot 5^{u}}{3} d u$

Etapa 3

Como $\frac{2}{3}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{2}{3}$ para fora da integral.

$\frac{2}{3} \int_{0}^{\frac{3}{2}} 5^{u} d u$

Etapa 4

A integral de $5^{u}$ com relação a $u$ é $\frac{5^{u}}{\ln (5)}$ .

$\frac{2}{3} \frac{5^{u}}{\ln (5)}]_{0}^{\frac{3}{2}}$

Etapa 5

Combine $\frac{2}{3}$ e $\frac{5^{u}}{\ln (5)}]_{0}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 (\frac{5^{u}}{\ln (5)}]_{0}^{\frac{3}{2}})}{3}$

Etapa 6

Substitua e simplifique.

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Etapa 6.1

Avalie $\frac{5^{u}}{\ln (5)}$ em $\frac{3}{2}$ e em $0$ .

$\frac{2 ((\frac{5^{\frac{3}{2}}}{\ln (5)}) - \frac{5^{0}}{\ln (5)})}{3}$

Etapa 6.2

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{2 (\frac{5^{\frac{3}{2}}}{\ln (5)} - \frac{1}{\ln (5)})}{3}$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 \frac{5^{\frac{3}{2}} - 1}{\ln (5)}}{3}$

Etapa 7.2

Combine $2$ e $\frac{5^{\frac{3}{2}} - 1}{\ln (5)}$ .

$\frac{\frac{2 (5^{\frac{3}{2}} - 1)}{\ln (5)}}{3}$

Etapa 7.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{2 (5^{\frac{3}{2}} - 1)}{\ln (5)} \cdot \frac{1}{3}$

Etapa 7.4

Combine.

$\frac{2 (5^{\frac{3}{2}} - 1) \cdot 1}{\ln (5) \cdot 3}$

Etapa 7.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{2 (5^{\frac{3}{2}} - 1)}{\ln (5) \cdot 3}$

Etapa 7.6

Mova $3$ para a esquerda de $\ln (5)$ .

$\frac{2 (5^{\frac{3}{2}} - 1)}{3 \ln (5)}$

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{2 (5^{\frac{3}{2}} - 1)}{3 \ln (5)}$

Forma decimal:

$4.21693387 \dots$

Etapa 9