Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{{(3 + x)}^{4} - 81}{6 x}$

Etapa 1

Mova o termo $\frac{1}{6}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{{(3 + x)}^{4} - 81}{x}$

Etapa 2

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 2.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 2.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{lim_{x \to 0} {(3 + x)}^{4} - 81}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 2.1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 2.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{lim_{x \to 0} {(3 + x)}^{4} - lim_{x \to 0} 81}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.1.2

Mova o expoente $4$ de ${(3 + x)}^{4}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} 3 + x)}^{4} - lim_{x \to 0} 81}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.1.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} 3 + lim_{x \to 0} x)}^{4} - lim_{x \to 0} 81}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.1.4

Avalie o limite de $3$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{{(3 + lim_{x \to 0} x)}^{4} - lim_{x \to 0} 81}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.1.5

Avalie o limite de $81$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{{(3 + lim_{x \to 0} x)}^{4} - 1 \cdot 81}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{{(3 + 0)}^{4} - 1 \cdot 81}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.2.3.1.1

Some $3$ e $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{3^{4} - 1 \cdot 81}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.3.1.2

Eleve $3$ à potência de $4$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{81 - 1 \cdot 81}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.3.1.3

Multiplique $- 1$ por $81$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{81 - 81}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.3.2

Subtraia $81$ de $81$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 2.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{1}{6} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 2.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{{(3 + x)}^{4} - 81}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(3 + x)}^{4} - 81]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 2.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(3 + x)}^{4} - 81]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de ${(3 + x)}^{4} - 81$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [{(3 + x)}^{4}] + \frac{d}{d x} [- 81]$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(3 + x)}^{4}] + \frac{d}{d x} [- 81]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [{(3 + x)}^{4}]$ .

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Etapa 2.3.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = 3 + x$ .

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Etapa 2.3.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $3 + x$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [3 + x] + \frac{d}{d x} [- 81]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{4 u^{3} \frac{d}{d x} [3 + x] + \frac{d}{d x} [- 81]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 + x$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{4 {(3 + x)}^{3} \frac{d}{d x} [3 + x] + \frac{d}{d x} [- 81]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 + x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{4 {(3 + x)}^{3} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 81]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.3.3

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{4 {(3 + x)}^{3} (0 + \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 81]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{4 {(3 + x)}^{3} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- 81]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.3.5

Some $0$ e $1$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{4 {(3 + x)}^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 81]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.3.6

Multiplique $4$ por $1$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{4 {(3 + x)}^{3} + \frac{d}{d x} [- 81]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.4

Como $- 81$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 81$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{4 {(3 + x)}^{3} + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.5

Some $4 {(3 + x)}^{3}$ e $0$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{4 {(3 + x)}^{3}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{4 {(3 + x)}^{3}}{1}$

Etapa 2.4

Divida $4 {(3 + x)}^{3}$ por $1$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} 4 {(3 + x)}^{3}$

Etapa 3

Avalie o limite.

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Etapa 3.1

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{6} \cdot 4 lim_{x \to 0} {(3 + x)}^{3}$

Etapa 3.2

Mova o expoente $3$ de ${(3 + x)}^{3}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{1}{6} \cdot 4 {(lim_{x \to 0} 3 + x)}^{3}$

Etapa 3.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot 4 {(lim_{x \to 0} 3 + lim_{x \to 0} x)}^{3}$

Etapa 3.4

Avalie o limite de $3$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot 4 {(3 + lim_{x \to 0} x)}^{3}$

Etapa 4

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{6} \cdot 4 {(3 + 0)}^{3}$

Etapa 5

Simplifique a resposta.

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Etapa 5.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.1.1

Fatore $2$ de $6$ .

$\frac{1}{2 (3)} \cdot 4 {(3 + 0)}^{3}$

Etapa 5.1.2

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{1}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot 2) {(3 + 0)}^{3}$

Etapa 5.1.3

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot 2) {(3 + 0)}^{3}$

Etapa 5.1.4

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{3} \cdot 2 {(3 + 0)}^{3}$

Etapa 5.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $2$ .

$\frac{2}{3} {(3 + 0)}^{3}$

Etapa 5.3

Some $3$ e $0$ .

$\frac{2}{3} \cdot 3^{3}$

Etapa 5.4

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 5.4.1

Fatore $3$ de $3^{3}$ .

$\frac{2}{3} \cdot (3 \cdot 3^{2})$

Etapa 5.4.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{3} \cdot (3 \cdot 3^{2})$

Etapa 5.4.3

Reescreva a expressão.

$2 \cdot 3^{2}$

Etapa 5.5

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$2 \cdot 9$

Etapa 5.6

Multiplique $2$ por $9$ .

$18$