Cálculo Exemplos

$f (x) = - \frac{1}{6} x^{4} + x^{2}$

Etapa 1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- \frac{1}{6} x^{4} + x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{4}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Como $- \frac{1}{6}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{1}{6} x^{4}$ em relação a $x$ é $- \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$- \frac{1}{6} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$- 4 (\frac{1}{6}) x^{3} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.2.4

Combine $- 4$ e $\frac{1}{6}$ .

$\frac{- 4}{6} x^{3} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.2.5

Combine $\frac{- 4}{6}$ e $x^{3}$ .

$\frac{- 4 x^{3}}{6} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.2.6

Cancele o fator comum de $- 4$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.6.1

Fatore $2$ de $- 4 x^{3}$ .

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{6} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.2.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.6.2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2 (3)} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.2.6.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.2.6.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 2 x^{3}}{3} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.2.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2 x^{3}}{3} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = - \frac{2 x^{3}}{3} + 2 x$

Etapa 1.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- \frac{2 x^{3}}{3} + 2 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{3}}{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Como $- \frac{2}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{2 x^{3}}{3}$ em relação a $x$ é $- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$- \frac{2}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.2.2.3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$- 3 (\frac{2}{3}) x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.2.2.4

Combine $- 3$ e $\frac{2}{3}$ .

$\frac{- 3 \cdot 2}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.2.2.5

Multiplique $- 3$ por $2$ .

$\frac{- 6}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.2.2.6

Combine $\frac{- 6}{3}$ e $x^{2}$ .

$\frac{- 6 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.2.2.7

Cancele o fator comum de $- 6$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.7.1

Fatore $3$ de $- 6 x^{2}$ .

$\frac{3 (- 2 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.2.2.7.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.7.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{3 (- 2 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.2.2.7.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 (- 2 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.2.2.7.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 2 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.2.2.7.2.4

Divida $- 2 x^{2}$ por $1$ .

$- 2 x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 x^{2} + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 2 x^{2} + 2 \cdot 1$

Etapa 1.2.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$f'' (x) = - 2 x^{2} + 2$

Etapa 1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 2 x^{2} + 2$ .

$- 2 x^{2} + 2$

Etapa 2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 2 x^{2} + 2 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$- 2 x^{2} + 2 = 0$

Etapa 2.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$- 2 x^{2} = - 2$

Etapa 2.3

Divida cada termo em $- 2 x^{2} = - 2$ por $- 2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Divida cada termo em $- 2 x^{2} = - 2$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 2}{- 2}$

Etapa 2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 2}{- 2}$

Etapa 2.3.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 2}{- 2}$

Etapa 2.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Divida $- 2$ por $- 2$ .

$x^{2} = 1$

Etapa 2.4

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{1}$

Etapa 2.5

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$x = \pm 1$

Etapa 2.6

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 1$

Etapa 2.6.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 1$

Etapa 2.6.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 1, - 1$

Etapa 3

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua $1$ em $f (x) = - \frac{1}{6} x^{4} + x^{2}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f (1) = - \frac{1}{6} \cdot {(1)}^{4} + {(1)}^{2}$

Etapa 3.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (1) = - \frac{1}{6} \cdot 1 + {(1)}^{2}$

Etapa 3.1.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (1) = - \frac{1}{6} + {(1)}^{2}$

Etapa 3.1.2.1.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (1) = - \frac{1}{6} + 1$

Etapa 3.1.2.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.2.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f (1) = - \frac{1}{6} + \frac{6}{6}$

Etapa 3.1.2.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (1) = \frac{- 1 + 6}{6}$

Etapa 3.1.2.2.3

Some $- 1$ e $6$ .

$f (1) = \frac{5}{6}$

Etapa 3.1.2.3

A resposta final é $\frac{5}{6}$ .

$\frac{5}{6}$

Etapa 3.2

O ponto encontrado ao substituir $1$ em $f (x) = - \frac{1}{6} x^{4} + x^{2}$ é $(1, \frac{5}{6})$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(1, \frac{5}{6})$

Etapa 3.3

Substitua $- 1$ em $f (x) = - \frac{1}{6} x^{4} + x^{2}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Substitua a variável $x$ por $- 1$ na expressão.

$f (- 1) = - \frac{1}{6} \cdot {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{2}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1

Multiplique $- 1$ por ${(- 1)}^{4}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1.1

Mova ${(- 1)}^{4}$ .

$f (- 1) = {(- 1)}^{4} \cdot (- 1 (\frac{1}{6})) + {(- 1)}^{2}$

Etapa 3.3.2.1.1.2

Multiplique ${(- 1)}^{4}$ por $- 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1.2.1

Eleve $- 1$ à potência de $1$ .

$f (- 1) = {(- 1)}^{4} \cdot ((- 1) (\frac{1}{6})) + {(- 1)}^{2}$

Etapa 3.3.2.1.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (- 1) = {(- 1)}^{4 + 1} (\frac{1}{6}) + {(- 1)}^{2}$

Etapa 3.3.2.1.1.3

Some $4$ e $1$ .

$f (- 1) = {(- 1)}^{5} (\frac{1}{6}) + {(- 1)}^{2}$

Etapa 3.3.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $5$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{6} + {(- 1)}^{2}$

Etapa 3.3.2.1.3

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{6} + 1$

Etapa 3.3.2.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.2.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f (- 1) = - \frac{1}{6} + \frac{6}{6}$

Etapa 3.3.2.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- 1) = \frac{- 1 + 6}{6}$

Etapa 3.3.2.2.3

Some $- 1$ e $6$ .

$f (- 1) = \frac{5}{6}$

Etapa 3.3.2.3

A resposta final é $\frac{5}{6}$ .

$\frac{5}{6}$

Etapa 3.4

O ponto encontrado ao substituir $- 1$ em $f (x) = - \frac{1}{6} x^{4} + x^{2}$ é $(- 1, \frac{5}{6})$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(- 1, \frac{5}{6})$

Etapa 3.5

Determine os pontos que poderiam ser de inflexão.

$(1, \frac{5}{6}), (- 1, \frac{5}{6})$

Etapa 4

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Etapa 5

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - 1)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 1.1$ na expressão.

$f'' (- 1.1) = - 2 {(- 1.1)}^{2} + 2$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Eleve $- 1.1$ à potência de $2$ .

$f'' (- 1.1) = - 2 \cdot 1.21 + 2$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $- 2$ por $1.21$ .

$f'' (- 1.1) = - 2.42 + 2$

Etapa 5.2.2

Some $- 2.42$ e $2$ .

$f'' (- 1.1) = - 0.42$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $- 0.42$ .

$- 0.42$

Etapa 5.3

Em $- 1.1$ , a segunda derivada é $- 0.42$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(- \infty, - 1)$ .

Decréscimo em $(- \infty, - 1)$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- 1, 1)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f'' (0) = - 2 {(0)}^{2} + 2$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f'' (0) = - 2 \cdot 0 + 2$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $- 2$ por $0$ .

$f'' (0) = 0 + 2$

Etapa 6.2.2

Some $0$ e $2$ .

$f'' (0) = 2$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $2$ .

$2$

Etapa 6.3

Em $0$ , a segunda derivada é $2$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(- 1, 1)$ .

Acréscimo em $(- 1, 1)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(1, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $1.1$ na expressão.

$f'' (1.1) = - 2 {(1.1)}^{2} + 2$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Eleve $1.1$ à potência de $2$ .

$f'' (1.1) = - 2 \cdot 1.21 + 2$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $- 2$ por $1.21$ .

$f'' (1.1) = - 2.42 + 2$

Etapa 7.2.2

Some $- 2.42$ e $2$ .

$f'' (1.1) = - 0.42$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $- 0.42$ .

$- 0.42$

Etapa 7.3

Em $1.1$ , a segunda derivada é $- 0.42$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(1, \infty)$ .

Decréscimo em $(1, \infty)$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 8

O ponto de inflexão é um ponto em uma curva em que a concavidade muda do sinal de adição para o de subtração ou vice-versa. Neste caso, os pontos de inflexão são $(- 1, \frac{5}{6}), (1, \frac{5}{6})$ .

$(- 1, \frac{5}{6}), (1, \frac{5}{6})$

Etapa 9