Cálculo Exemplos

$f (x) = e^{x^{2} - 1}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x^{2} - 1$ .

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Etapa 1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Etapa 1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} - 1$ .

$e^{x^{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Etapa 1.2

Diferencie.

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Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$e^{x^{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$e^{x^{2} - 1} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 1.2.3

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$e^{x^{2} - 1} (2 x + 0)$

Etapa 1.2.4

Some $2 x$ e $0$ .

$e^{x^{2} - 1} (2 x)$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Reordene os fatores de $e^{x^{2} - 1} (2 x)$ .

$2 e^{x^{2} - 1} x$

Etapa 1.3.2

Reordene os fatores em $2 e^{x^{2} - 1} x$ .

$2 x e^{x^{2} - 1}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x e^{x^{2} - 1}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x e^{x^{2} - 1}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x e^{x^{2} - 1})$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = e^{x^{2} - 1}$ .

$f'' (x) = 2 (x \frac{d}{d x} (e^{x^{2} - 1}) + e^{x^{2} - 1} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x^{2} - 1$ .

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Etapa 2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} - 1$ .

$f'' (x) = 2 (x (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)) + e^{x^{2} - 1} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 2 (x (e^{u} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)) + e^{x^{2} - 1} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} - 1$ .

$f'' (x) = 2 (x (e^{x^{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)) + e^{x^{2} - 1} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.4

Diferencie.

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Etapa 2.4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = 2 (x (e^{x^{2} - 1} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1))) + e^{x^{2} - 1} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 (x (e^{x^{2} - 1} (2 x + \frac{d}{d x} (- 1))) + e^{x^{2} - 1} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.4.3

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 2 (x (e^{x^{2} - 1} (2 x + 0)) + e^{x^{2} - 1} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.4.4

Some $2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = 2 (x (e^{x^{2} - 1} (2 x)) + e^{x^{2} - 1} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = 2 (x \cdot x (e^{x^{2} - 1} \cdot (2)) + e^{x^{2} - 1} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.6

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = 2 (x \cdot x (e^{x^{2} - 1} \cdot (2)) + e^{x^{2} - 1} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = 2 (x^{1 + 1} (e^{x^{2} - 1} \cdot (2)) + e^{x^{2} - 1} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.8

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.8.1

Some $1$ e $1$ .

$f'' (x) = 2 (x^{2} (e^{x^{2} - 1} \cdot (2)) + e^{x^{2} - 1} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.8.2

Mova $2$ para a esquerda de $e^{x^{2} - 1}$ .

$f'' (x) = 2 (x^{2} (2 \cdot e^{x^{2} - 1}) + e^{x^{2} - 1} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (x^{2} (2 e^{x^{2} - 1}) + e^{x^{2} - 1} \cdot 1)$

Etapa 2.10

Multiplique $e^{x^{2} - 1}$ por $1$ .

$f'' (x) = 2 (x^{2} (2 e^{x^{2} - 1}) + e^{x^{2} - 1})$

Etapa 2.11

Simplifique.

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Etapa 2.11.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = 2 (x^{2} (2 e^{x^{2} - 1})) + 2 e^{x^{2} - 1}$

Etapa 2.11.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = 4 x^{2} e^{x^{2} - 1} + 2 e^{x^{2} - 1}$

Etapa 2.11.3

Reordene os termos.

$f'' (x) = 4 e^{x^{2} - 1} x^{2} + 2 e^{x^{2} - 1}$

Etapa 2.11.4

Reordene os fatores em $4 e^{x^{2} - 1} x^{2} + 2 e^{x^{2} - 1}$ .

$f'' (x) = 4 x^{2} e^{x^{2} - 1} + 2 e^{x^{2} - 1}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$2 x e^{x^{2} - 1} = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x^{2} - 1$ .

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Etapa 4.1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Etapa 4.1.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Etapa 4.1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} - 1$ .

$e^{x^{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Etapa 4.1.2

Diferencie.

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Etapa 4.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$e^{x^{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$e^{x^{2} - 1} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 4.1.2.3

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$e^{x^{2} - 1} (2 x + 0)$

Etapa 4.1.2.4

Some $2 x$ e $0$ .

$e^{x^{2} - 1} (2 x)$

Etapa 4.1.3

Simplifique.

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Etapa 4.1.3.1

Reordene os fatores de $e^{x^{2} - 1} (2 x)$ .

$2 e^{x^{2} - 1} x$

Etapa 4.1.3.2

Reordene os fatores em $2 e^{x^{2} - 1} x$ .

$f' (x) = 2 x e^{x^{2} - 1}$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $2 x e^{x^{2} - 1}$ .

$2 x e^{x^{2} - 1}$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $2 x e^{x^{2} - 1} = 0$ .

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Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$2 x e^{x^{2} - 1} = 0$

Etapa 5.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$e^{x^{2} - 1} = 0$

Etapa 5.3

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 5.4

Defina $e^{x^{2} - 1}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.4.1

Defina $e^{x^{2} - 1}$ como igual a $0$ .

$e^{x^{2} - 1} = 0$

Etapa 5.4.2

Resolva $e^{x^{2} - 1} = 0$ para $x$ .

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Etapa 5.4.2.1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{x^{2} - 1}) = \ln (0)$

Etapa 5.4.2.2

Não é possível resolver a equação, porque $\ln (0)$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 5.4.2.3

Não há uma solução para $e^{x^{2} - 1} = 0$

Nenhuma solução

Etapa 5.5

A solução final são todos os valores que tornam $2 x e^{x^{2} - 1} = 0$ verdadeiro.

$x = 0$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 0$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$4 {(0)}^{2} e^{{(0)}^{2} - 1} + 2 e^{{(0)}^{2} - 1}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 9.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$4 \cdot 0 e^{{(0)}^{2} - 1} + 2 e^{{(0)}^{2} - 1}$

Etapa 9.1.2

Multiplique $4$ por $0$ .

$0 e^{{(0)}^{2} - 1} + 2 e^{{(0)}^{2} - 1}$

Etapa 9.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 e^{0 - 1} + 2 e^{{(0)}^{2} - 1}$

Etapa 9.1.4

Subtraia $1$ de $0$ .

$0 e^{- 1} + 2 e^{{(0)}^{2} - 1}$

Etapa 9.1.5

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 \frac{1}{e} + 2 e^{{(0)}^{2} - 1}$

Etapa 9.1.6

Multiplique $0$ por $\frac{1}{e}$ .

$0 + 2 e^{{(0)}^{2} - 1}$

Etapa 9.1.7

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 + 2 e^{0 - 1}$

Etapa 9.1.8

Subtraia $1$ de $0$ .

$0 + 2 e^{- 1}$

Etapa 9.1.9

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + 2 \frac{1}{e}$

Etapa 9.1.10

Combine $2$ e $\frac{1}{e}$ .

$0 + \frac{2}{e}$

Etapa 9.2

Some $0$ e $\frac{2}{e}$ .

$\frac{2}{e}$

Etapa 10

$x = 0$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 0$ é um mínimo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = 0$ .

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Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = e^{{(0)}^{2} - 1}$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 11.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = e^{0 - 1}$

Etapa 11.2.2

Subtraia $1$ de $0$ .

$f (0) = e^{- 1}$

Etapa 11.2.3

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (0) = \frac{1}{e}$

Etapa 11.2.4

A resposta final é $\frac{1}{e}$ .

$y = \frac{1}{e}$

Etapa 12

Esses são os extremos locais para $f (x) = e^{x^{2} - 1}$ .

$(0, \frac{1}{e})$ é um mínimo local

Etapa 13