Cálculo Exemplos

$\int \frac{- 1}{4 x \sqrt{4 - {(2 x)}^{2}}} d x$

Etapa 1

Simplifique.

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Etapa 1.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$\int \frac{- 1}{4 x \sqrt{4 - {(2 (x))}^{2}}} d x$

Etapa 1.2

Aplique a regra do produto a $2 (x)$ .

$\int \frac{- 1}{4 x \sqrt{4 - (2^{2} x^{2})}} d x$

Etapa 1.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\int \frac{- 1}{4 x \sqrt{4 - (4 x^{2})}} d x$

Etapa 1.4

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$\int \frac{- 1}{4 x \sqrt{4 - 4 x^{2}}} d x$

Etapa 1.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int - \frac{1}{4 x \sqrt{4 - 4 x^{2}}} d x$

Etapa 2

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int \frac{1}{4 x \sqrt{4 - 4 x^{2}}} d x$

Etapa 3

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$- (\frac{1}{4} \int \frac{1}{x \sqrt{4 - 4 x^{2}}} d x)$

Etapa 4

Deixe $x = \sin (t)$ , em que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Depois, $d x = \cos (t) d t$ . Como $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\cos (t)$ é positivo.

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{\sin (t) \sqrt{4 - 4 \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Etapa 5

Simplifique os termos.

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Etapa 5.1

Simplifique $\sqrt{4 - 4 \sin^{2} (t)}$ .

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Etapa 5.1.1

Fatore $4$ de $4$ .

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{\sin (t) \sqrt{4 (1) - 4 \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Etapa 5.1.2

Fatore $4$ de $- 4 \sin^{2} (t)$ .

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{\sin (t) \sqrt{4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))}} \cos (t) d t$

Etapa 5.1.3

Fatore $4$ de $4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))$ .

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{\sin (t) \sqrt{4 (1 - \sin^{2} (t))}} \cos (t) d t$

Etapa 5.1.4

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{\sin (t) \sqrt{4 \cos^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Etapa 5.1.5

Reescreva $4 \cos^{2} (t)$ como ${(2 \cos (t))}^{2}$ .

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{\sin (t) \sqrt{{(2 \cos (t))}^{2}}} \cos (t) d t$

Etapa 5.1.6

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{\sin (t) (2 \cos (t))} \cos (t) d t$

Etapa 5.2

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 5.2.1

Cancele o fator comum de $\cos (t)$ .

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Etapa 5.2.1.1

Fatore $\cos (t)$ de $\sin (t) (2 \cos (t))$ .

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{\cos (t) (\sin (t) \cdot (2))} \cos (t) d t$

Etapa 5.2.1.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{\cos (t) (\sin (t) \cdot (2))} \cos (t) d t$

Etapa 5.2.1.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{\sin (t) \cdot (2)} d t$

Etapa 5.2.2

Mova $2$ para a esquerda de $\sin (t)$ .

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{2 \sin (t)} d t$

Etapa 6

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $t$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$- \frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sin (t)} d t)$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Converta de $\frac{1}{\sin (t)}$ em $\csc (t)$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int \csc (t) d t)$

Etapa 7.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{2 \cdot 4} \int \csc (t) d t$

Etapa 7.3

Multiplique $2$ por $4$ .

$- \frac{1}{8} \int \csc (t) d t$

Etapa 8

A integral de $\csc (t)$ com relação a $t$ é $\ln (| \csc (t) - \cot (t) |)$ .

$- \frac{1}{8} (\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C)$

Etapa 9

Simplifique.

$- \frac{1}{8} \ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C$

Etapa 10

Substitua todas as ocorrências de $t$ por $\arcsin (x)$ .

$- \frac{1}{8} \ln (| \csc (\arcsin (x)) - \cot (\arcsin (x)) |) + C$