Cálculo Exemplos

$y + x^{3} y - 5 x = 0$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y + x^{3} y - 5 x) = \frac{d}{d x} (0)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y + x^{3} y - 5 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{3} y] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{3} y] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Etapa 2.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$y' + \frac{d}{d x} [x^{3} y] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [x^{3} y]$ .

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Etapa 2.3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

$y' + x^{3} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Etapa 2.3.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$y' + x^{3} y' + y \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$y' + x^{3} y' + y (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Etapa 2.3.4

Mova $3$ para a esquerda de $y$ .

$y' + x^{3} y' + 3 y x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Etapa 2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

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Etapa 2.4.1

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 x$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y' + x^{3} y' + 3 y x^{2} - 5 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$y' + x^{3} y' + 3 y x^{2} - 5 \cdot 1$

Etapa 2.4.3

Multiplique $- 5$ por $1$ .

$y' + x^{3} y' + 3 y x^{2} - 5$

Etapa 2.5

Reordene os termos.

$x^{3} y' + 3 x^{2} y + y' - 5$

Etapa 3

Como $0$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $0$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$x^{3} y' + 3 x^{2} y + y' - 5 = 0$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Mova todos os termos que não contêm $y'$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.1.1

Subtraia $3 x^{2} y$ dos dois lados da equação.

$x^{3} y' + y' - 5 = - 3 x^{2} y$

Etapa 5.1.2

Some $5$ aos dois lados da equação.

$x^{3} y' + y' = - 3 x^{2} y + 5$

Etapa 5.2

Fatore $y'$ de $x^{3} y' + y'$ .

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Etapa 5.2.1

Fatore $y'$ de $x^{3} y'$ .

$y' x^{3} + y' = - 3 x^{2} y + 5$

Etapa 5.2.2

Eleve $y'$ à potência de $1$ .

$y' x^{3} + y' = - 3 x^{2} y + 5$

Etapa 5.2.3

Fatore $y'$ de ${y'}^{1}$ .

$y' x^{3} + y' \cdot 1 = - 3 x^{2} y + 5$

Etapa 5.2.4

Fatore $y'$ de $y' x^{3} + y' \cdot 1$ .

$y' (x^{3} + 1) = - 3 x^{2} y + 5$

Etapa 5.3

Reescreva $1$ como $1^{3}$ .

$y' (x^{3} + 1^{3}) = - 3 x^{2} y + 5$

Etapa 5.4

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da soma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$y' ((x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2})) = - 3 x^{2} y + 5$

Etapa 5.5

Fatore.

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Etapa 5.5.1

Simplifique.

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Etapa 5.5.1.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$y' ((x + 1) (x^{2} - x + 1^{2})) = - 3 x^{2} y + 5$

Etapa 5.5.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$y' ((x + 1) (x^{2} - x + 1)) = - 3 x^{2} y + 5$

Etapa 5.5.2

Remova os parênteses desnecessários.

$y' (x + 1) (x^{2} - x + 1) = - 3 x^{2} y + 5$

Etapa 5.6

Divida cada termo em $y' (x + 1) (x^{2} - x + 1) = - 3 x^{2} y + 5$ por $(x + 1) (x^{2} - x + 1)$ e simplifique.

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Etapa 5.6.1

Divida cada termo em $y' (x + 1) (x^{2} - x + 1) = - 3 x^{2} y + 5$ por $(x + 1) (x^{2} - x + 1)$ .

$\frac{y' (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} = \frac{- 3 x^{2} y}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} + \frac{5}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}$

Etapa 5.6.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.6.2.1

Cancele o fator comum de $x + 1$ .

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Etapa 5.6.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} = \frac{- 3 x^{2} y}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} + \frac{5}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}$

Etapa 5.6.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y' (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1} = \frac{- 3 x^{2} y}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} + \frac{5}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}$

Etapa 5.6.2.2

Cancele o fator comum de $x^{2} - x + 1$ .

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Etapa 5.6.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1} = \frac{- 3 x^{2} y}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} + \frac{5}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}$

Etapa 5.6.2.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2} y}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} + \frac{5}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}$

Etapa 5.6.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.6.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{3 x^{2} y}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} + \frac{5}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 x^{2} y}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} + \frac{5}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}$