Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{1}{\sqrt{7 x - 9}}$

Etapa 1

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 2

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{1}{\sqrt{7 x - 9}} d x$

Etapa 3

Deixe $u = 7 x - 9$ . Depois, $d u = 7 d x$ , então, $\frac{1}{7} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Deixe $u = 7 x - 9$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Diferencie $7 x - 9$ .

$\frac{d}{d x} [7 x - 9]$

Etapa 3.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $7 x - 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Etapa 3.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [7 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.3.1

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7 x$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Etapa 3.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]$

Etapa 3.1.3.3

Multiplique $7$ por $1$ .

$7 + \frac{d}{d x} [- 9]$

Etapa 3.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.4.1

Como $- 9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 9$ em relação a $x$ é $0$ .

$7 + 0$

Etapa 3.1.4.2

Some $7$ e $0$ .

$7$

Etapa 3.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{7} d u$

Etapa 4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{u}}$ por $\frac{1}{7}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 7} d u$

Etapa 4.2

Mova $7$ para a esquerda de $\sqrt{u}$ .

$\int \frac{1}{7 \sqrt{u}} d u$

Etapa 5

Como $\frac{1}{7}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{7}$ para fora da integral.

$\frac{1}{7} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Etapa 6

Aplique regras básicas de expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{7} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Etapa 6.2

Mova $u^{\frac{1}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\frac{1}{7} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Etapa 6.3

Multiplique os expoentes em ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{7} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Etapa 6.3.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\frac{1}{7} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Etapa 6.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{7} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- \frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{7} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Etapa 8

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Reescreva $\frac{1}{7} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ como $\frac{1}{7} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ .

$\frac{1}{7} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Etapa 8.2

Combine $\frac{1}{7}$ e $2$ .

$\frac{2}{7} u^{\frac{1}{2}} + C$

Etapa 9

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $7 x - 9$ .

$\frac{2}{7} {(7 x - 9)}^{\frac{1}{2}} + C$

Etapa 10

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \frac{1}{\sqrt{7 x - 9}}$ .

$F (x) =$ $\frac{2}{7} {(7 x - 9)}^{\frac{1}{2}} + C$