Cálculo Exemplos

$f (x) = x \sqrt{x} - \frac{4}{\sqrt{x}}$

Etapa 1

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 2

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int x \sqrt{x} - \frac{4}{\sqrt{x}} d x$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int x \cdot x^{\frac{1}{2}} - \frac{4}{\sqrt{x}} d x$

Etapa 3.2

Multiplique $x$ por $x^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.2.1

Multiplique $x$ por $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 3.2.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\int x^{1} x^{\frac{1}{2}} - \frac{4}{\sqrt{x}} d x$

Etapa 3.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int x^{1 + \frac{1}{2}} - \frac{4}{\sqrt{x}} d x$

Etapa 3.2.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\int x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - \frac{4}{\sqrt{x}} d x$

Etapa 3.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\int x^{\frac{2 + 1}{2}} - \frac{4}{\sqrt{x}} d x$

Etapa 3.2.4

Some $2$ e $1$ .

$\int x^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{\sqrt{x}} d x$

Etapa 4

Divida a integral única em várias integrais.

$\int x^{\frac{3}{2}} d x + \int - \frac{4}{\sqrt{x}} d x$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{\frac{3}{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C + \int - \frac{4}{\sqrt{x}} d x$

Etapa 6

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - \int \frac{4}{\sqrt{x}} d x$

Etapa 7

Como $4$ é constante com relação a $x$ , mova $4$ para fora da integral.

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - (4 \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x)$

Etapa 8

Simplifique a expressão.

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Etapa 8.1

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - 4 \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Etapa 8.2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - 4 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Etapa 8.3

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - 4 \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Etapa 8.4

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 8.4.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - 4 \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Etapa 8.4.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - 4 \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Etapa 8.4.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - 4 \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Etapa 9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- \frac{1}{2}}$ com relação a $x$ é $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - 4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$

Etapa 10

Simplifique.

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Etapa 10.1

Simplifique.

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} - 4 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Etapa 10.2

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} - 8 x^{\frac{1}{2}} + C$

Etapa 11

A resposta é a primitiva da função $f (x) = x \sqrt{x} - \frac{4}{\sqrt{x}}$ .

$F (x) =$ $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} - 8 x^{\frac{1}{2}} + C$