Cálculo Exemplos

$(x^{2} - \frac{5}{4}) e^{x}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2} - \frac{5}{4}$ e $g (x) = e^{x}$ .

$(x^{2} - \frac{5}{4}) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - \frac{5}{4}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$(x^{2} - \frac{5}{4}) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - \frac{5}{4}]$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - \frac{5}{4}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{4}]$ .

$(x^{2} - \frac{5}{4}) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{4}])$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$(x^{2} - \frac{5}{4}) e^{x} + e^{x} (2 x + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{4}])$

Etapa 3.3

Como $- \frac{5}{4}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{5}{4}$ em relação a $x$ é $0$ .

$(x^{2} - \frac{5}{4}) e^{x} + e^{x} (2 x + 0)$

Etapa 3.4

Some $2 x$ e $0$ .

$(x^{2} - \frac{5}{4}) e^{x} + e^{x} (2 x)$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} e^{x} - \frac{5}{4} e^{x} + e^{x} (2 x)$

Etapa 4.2

Reordene os termos.

$e^{x} x^{2} - \frac{5}{4} e^{x} + 2 e^{x} x$

Etapa 4.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.3.1

Combine $e^{x}$ e $\frac{5}{4}$ .

$e^{x} x^{2} - \frac{e^{x} \cdot 5}{4} + 2 e^{x} x$

Etapa 4.3.2

Mova $5$ para a esquerda de $e^{x}$ .

$e^{x} x^{2} - \frac{5 e^{x}}{4} + 2 e^{x} x$

Etapa 4.4

Subtraia $\frac{5 e^{x}}{4}$ de $e^{x} x^{2}$ .

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Etapa 4.4.1

Reordene $e^{x}$ e $x^{2}$ .

$x^{2} e^{x} - \frac{5 e^{x}}{4} + 2 e^{x} x$

Etapa 4.4.2

Para escrever $x^{2} e^{x}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$x^{2} e^{x} \cdot \frac{4}{4} - \frac{5 e^{x}}{4} + 2 e^{x} x$

Etapa 4.4.3

Combine $x^{2} e^{x}$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x^{2} e^{x} \cdot 4}{4} - \frac{5 e^{x}}{4} + 2 e^{x} x$

Etapa 4.4.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x^{2} e^{x} \cdot 4 - 5 e^{x}}{4} + 2 e^{x} x$

Etapa 4.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.5.1

Mova $4$ para a esquerda de $x^{2} e^{x}$ .

$\frac{4 \cdot (x^{2} e^{x}) - 5 e^{x}}{4} + 2 e^{x} x$

Etapa 4.5.2

Fatore $e^{x}$ de $4 x^{2} e^{x} - 5 e^{x}$ .

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Etapa 4.5.2.1

Fatore $e^{x}$ de $4 x^{2} e^{x}$ .

$\frac{e^{x} (4 x^{2}) - 5 e^{x}}{4} + 2 e^{x} x$

Etapa 4.5.2.2

Fatore $e^{x}$ de $- 5 e^{x}$ .

$\frac{e^{x} (4 x^{2}) + e^{x} \cdot - 5}{4} + 2 e^{x} x$

Etapa 4.5.2.3

Fatore $e^{x}$ de $e^{x} (4 x^{2}) + e^{x} \cdot - 5$ .

$\frac{e^{x} (4 x^{2} - 5)}{4} + 2 e^{x} x$

Etapa 4.6

Para escrever $2 e^{x} x$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{e^{x} (4 x^{2} - 5)}{4} + 2 e^{x} x \cdot \frac{4}{4}$

Etapa 4.7

Combine $2 e^{x} x$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{e^{x} (4 x^{2} - 5)}{4} + \frac{2 e^{x} x \cdot 4}{4}$

Etapa 4.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{e^{x} (4 x^{2} - 5) + 2 e^{x} x \cdot 4}{4}$

Etapa 4.9

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.9.1

Fatore $e^{x}$ de $e^{x} (4 x^{2} - 5) + 2 e^{x} x \cdot 4$ .

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Etapa 4.9.1.1

Fatore $e^{x}$ de $2 e^{x} x \cdot 4$ .

$\frac{e^{x} (4 x^{2} - 5) + e^{x} (2 x \cdot 4)}{4}$

Etapa 4.9.1.2

Fatore $e^{x}$ de $e^{x} (4 x^{2} - 5) + e^{x} (2 x \cdot 4)$ .

$\frac{e^{x} (4 x^{2} - 5 + 2 x \cdot 4)}{4}$

Etapa 4.9.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$\frac{e^{x} (4 x^{2} - 5 + 8 x)}{4}$

Etapa 4.9.3

Reordene os termos.

$\frac{e^{x} (4 x^{2} + 8 x - 5)}{4}$

Etapa 4.9.4

Fatore por agrupamento.

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Etapa 4.9.4.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 4 \cdot - 5 = - 20$ e cuja soma é $b = 8$ .

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Etapa 4.9.4.1.1

Fatore $8$ de $8 x$ .

$\frac{e^{x} (4 x^{2} + 8 (x) - 5)}{4}$

Etapa 4.9.4.1.2

Reescreva $8$ como $- 2$ mais $10$

$\frac{e^{x} (4 x^{2} + (- 2 + 10) x - 5)}{4}$

Etapa 4.9.4.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{e^{x} (4 x^{2} - 2 x + 10 x - 5)}{4}$

Etapa 4.9.4.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 4.9.4.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{e^{x} ((4 x^{2} - 2 x) + 10 x - 5)}{4}$

Etapa 4.9.4.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{e^{x} (2 x (2 x - 1) + 5 (2 x - 1))}{4}$

Etapa 4.9.4.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 x - 1$ .

$\frac{e^{x} ((2 x - 1) (2 x + 5))}{4}$

$\frac{e^{x} (2 x - 1) (2 x + 5)}{4}$