Cálculo Exemplos

$- \frac{1}{10} x^{5} - 2 x^{4} - 12 x^{3}$

Etapa 1

Escreva $- \frac{1}{10} x^{5} - 2 x^{4} - 12 x^{3}$ como uma função.

$f (x) = - \frac{1}{10} x^{5} - 2 x^{4} - 12 x^{3}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- \frac{1}{10} x^{5} - 2 x^{4} - 12 x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Etapa 2.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Como $- \frac{1}{10}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{1}{10} x^{5}$ em relação a $x$ é $- \frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- \frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Etapa 2.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$- \frac{1}{10} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Etapa 2.1.2.3

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$- 5 (\frac{1}{10}) x^{4} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Etapa 2.1.2.4

Combine $- 5$ e $\frac{1}{10}$ .

$\frac{- 5}{10} x^{4} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Etapa 2.1.2.5

Combine $\frac{- 5}{10}$ e $x^{4}$ .

$\frac{- 5 x^{4}}{10} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Etapa 2.1.2.6

Cancele o fator comum de $- 5$ e $10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.6.1

Fatore $5$ de $- 5 x^{4}$ .

$\frac{5 (- x^{4})}{10} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Etapa 2.1.2.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.6.2.1

Fatore $5$ de $10$ .

$\frac{5 (- x^{4})}{5 (2)} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Etapa 2.1.2.6.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{5 (- x^{4})}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Etapa 2.1.2.6.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- x^{4}}{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Etapa 2.1.2.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{x^{4}}{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Etapa 2.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x^{4}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x^{4}$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{x^{4}}{2} - 2 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Etapa 2.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$- \frac{x^{4}}{2} - 2 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Etapa 2.1.3.3

Multiplique $4$ por $- 2$ .

$- \frac{x^{4}}{2} - 8 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Etapa 2.1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.4.1

Como $- 12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 12 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{x^{4}}{2} - 8 x^{3} - 12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 2.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$- \frac{x^{4}}{2} - 8 x^{3} - 12 (3 x^{2})$

Etapa 2.1.4.3

Multiplique $3$ por $- 12$ .

$f' (x) = - \frac{x^{4}}{2} - 8 x^{3} - 36 x^{2}$

Etapa 2.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- \frac{x^{4}}{2} - 8 x^{3} - 36 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Etapa 2.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{4}}{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Como $- \frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{x^{4}}{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Etapa 2.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$- \frac{1}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Etapa 2.2.2.3

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$- 4 (\frac{1}{2}) x^{3} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Etapa 2.2.2.4

Combine $- 4$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 4}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Etapa 2.2.2.5

Combine $\frac{- 4}{2}$ e $x^{3}$ .

$\frac{- 4 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Etapa 2.2.2.6

Cancele o fator comum de $- 4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.6.1

Fatore $2$ de $- 4 x^{3}$ .

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Etapa 2.2.2.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.6.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Etapa 2.2.2.6.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Etapa 2.2.2.6.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 2 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Etapa 2.2.2.6.2.4

Divida $- 2 x^{3}$ por $1$ .

$- 2 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Etapa 2.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 2 x^{3} - 8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Etapa 2.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$- 2 x^{3} - 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Etapa 2.2.3.3

Multiplique $3$ por $- 8$ .

$- 2 x^{3} - 24 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Etapa 2.2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.1

Como $- 36$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 36 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 2 x^{3} - 24 x^{2} - 36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 2 x^{3} - 24 x^{2} - 36 (2 x)$

Etapa 2.2.4.3

Multiplique $2$ por $- 36$ .

$f'' (x) = - 2 x^{3} - 24 x^{2} - 72 x$

Etapa 2.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 2 x^{3} - 24 x^{2} - 72 x$ .

$- 2 x^{3} - 24 x^{2} - 72 x$

Etapa 3

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 2 x^{3} - 24 x^{2} - 72 x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$- 2 x^{3} - 24 x^{2} - 72 x = 0$

Etapa 3.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Fatore $- 2 x$ de $- 2 x^{3} - 24 x^{2} - 72 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Fatore $- 2 x$ de $- 2 x^{3}$ .

$- 2 x \cdot x^{2} - 24 x^{2} - 72 x = 0$

Etapa 3.2.1.2

Fatore $- 2 x$ de $- 24 x^{2}$ .

$- 2 x \cdot x^{2} - 2 x (12 x) - 72 x = 0$

Etapa 3.2.1.3

Fatore $- 2 x$ de $- 72 x$ .

$- 2 x \cdot x^{2} - 2 x (12 x) - 2 x \cdot 36 = 0$

Etapa 3.2.1.4

Fatore $- 2 x$ de $- 2 x (x^{2}) - 2 x (12 x)$ .

$- 2 x (x^{2} + 12 x) - 2 x \cdot 36 = 0$

Etapa 3.2.1.5

Fatore $- 2 x$ de $- 2 x (x^{2} + 12 x) - 2 x (36)$ .

$- 2 x (x^{2} + 12 x + 36) = 0$

Etapa 3.2.2

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Reescreva $36$ como $6^{2}$ .

$- 2 x (x^{2} + 12 x + 6^{2}) = 0$

Etapa 3.2.2.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$12 x = 2 \cdot x \cdot 6$

Etapa 3.2.2.3

Reescreva o polinômio.

$- 2 x (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 6 + 6^{2}) = 0$

Etapa 3.2.2.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , em que $a = x$ e $b = 6$ .

$- 2 x {(x + 6)}^{2} = 0$

Etapa 3.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

${(x + 6)}^{2} = 0$

Etapa 3.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 3.5

Defina ${(x + 6)}^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Defina ${(x + 6)}^{2}$ como igual a $0$ .

${(x + 6)}^{2} = 0$

Etapa 3.5.2

Resolva ${(x + 6)}^{2} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1

Defina $x + 6$ como igual a $0$ .

$x + 6 = 0$

Etapa 3.5.2.2

Subtraia $6$ dos dois lados da equação.

$x = - 6$

Etapa 3.6

A solução final são todos os valores que tornam $- 2 x {(x + 6)}^{2} = 0$ verdadeiro.

$x = 0, - 6$

Etapa 4

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua $0$ em $f (x) = - \frac{1}{10} x^{5} - 2 x^{4} - 12 x^{3}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = - \frac{1}{10} \cdot {(0)}^{5} - 2 {(0)}^{4} - 12 {(0)}^{3}$

Etapa 4.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = - \frac{1}{10} \cdot 0 - 2 {(0)}^{4} - 12 {(0)}^{3}$

Etapa 4.1.2.1.2

Multiplique $- \frac{1}{10} \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.2.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$f (0) = 0 (\frac{1}{10}) - 2 {(0)}^{4} - 12 {(0)}^{3}$

Etapa 4.1.2.1.2.2

Multiplique $0$ por $\frac{1}{10}$ .

$f (0) = 0 - 2 {(0)}^{4} - 12 {(0)}^{3}$

Etapa 4.1.2.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 0 - 2 \cdot 0 - 12 {(0)}^{3}$

Etapa 4.1.2.1.4

Multiplique $- 2$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 12 {(0)}^{3}$

Etapa 4.1.2.1.5

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 12 \cdot 0$

Etapa 4.1.2.1.6

Multiplique $- 12$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0$

Etapa 4.1.2.2

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.2.1

Some $0$ e $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Etapa 4.1.2.2.2

Some $0$ e $0$ .

$f (0) = 0$

Etapa 4.1.2.3

A resposta final é $0$ .

$0$

Etapa 4.2

O ponto encontrado ao substituir $0$ em $f (x) = - \frac{1}{10} x^{5} - 2 x^{4} - 12 x^{3}$ é $(0, 0)$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(0, 0)$

Etapa 4.3

Substitua $- 6$ em $f (x) = - \frac{1}{10} x^{5} - 2 x^{4} - 12 x^{3}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Substitua a variável $x$ por $- 6$ na expressão.

$f (- 6) = - \frac{1}{10} \cdot {(- 6)}^{5} - 2 {(- 6)}^{4} - 12 {(- 6)}^{3}$

Etapa 4.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.1

Eleve $- 6$ à potência de $5$ .

$f (- 6) = - \frac{1}{10} \cdot - 7776 - 2 {(- 6)}^{4} - 12 {(- 6)}^{3}$

Etapa 4.3.2.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{10}$ para o numerador.

$f (- 6) = \frac{- 1}{10} \cdot - 7776 - 2 {(- 6)}^{4} - 12 {(- 6)}^{3}$

Etapa 4.3.2.1.2.2

Fatore $2$ de $10$ .

$f (- 6) = \frac{- 1}{2 (5)} \cdot - 7776 - 2 {(- 6)}^{4} - 12 {(- 6)}^{3}$

Etapa 4.3.2.1.2.3

Fatore $2$ de $- 7776$ .

$f (- 6) = \frac{- 1}{2 \cdot 5} \cdot (2 \cdot - 3888) - 2 {(- 6)}^{4} - 12 {(- 6)}^{3}$

Etapa 4.3.2.1.2.4

Cancele o fator comum.

$f (- 6) = \frac{- 1}{2 \cdot 5} \cdot (2 \cdot - 3888) - 2 {(- 6)}^{4} - 12 {(- 6)}^{3}$

Etapa 4.3.2.1.2.5

Reescreva a expressão.

$f (- 6) = \frac{- 1}{5} \cdot - 3888 - 2 {(- 6)}^{4} - 12 {(- 6)}^{3}$

Etapa 4.3.2.1.3

Combine $\frac{- 1}{5}$ e $- 3888$ .

$f (- 6) = \frac{3888}{5} - 2 {(- 6)}^{4} - 12 {(- 6)}^{3}$

Etapa 4.3.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $- 3888$ .

$f (- 6) = \frac{3888}{5} - 2 {(- 6)}^{4} - 12 {(- 6)}^{3}$

Etapa 4.3.2.1.5

Eleve $- 6$ à potência de $4$ .

$f (- 6) = \frac{3888}{5} - 2 \cdot 1296 - 12 {(- 6)}^{3}$

Etapa 4.3.2.1.6

Multiplique $- 2$ por $1296$ .

$f (- 6) = \frac{3888}{5} - 2592 - 12 {(- 6)}^{3}$

Etapa 4.3.2.1.7

Eleve $- 6$ à potência de $3$ .

$f (- 6) = \frac{3888}{5} - 2592 - 12 \cdot - 216$

Etapa 4.3.2.1.8

Multiplique $- 12$ por $- 216$ .

$f (- 6) = \frac{3888}{5} - 2592 + 2592$

Etapa 4.3.2.2

Encontre o denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.2.1

Escreva $- 2592$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (- 6) = \frac{3888}{5} + \frac{- 2592}{1} + 2592$

Etapa 4.3.2.2.2

Multiplique $\frac{- 2592}{1}$ por $\frac{5}{5}$ .

$f (- 6) = \frac{3888}{5} + \frac{- 2592}{1} \cdot \frac{5}{5} + 2592$

Etapa 4.3.2.2.3

Multiplique $\frac{- 2592}{1}$ por $\frac{5}{5}$ .

$f (- 6) = \frac{3888}{5} + \frac{- 2592 \cdot 5}{5} + 2592$

Etapa 4.3.2.2.4

Escreva $2592$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (- 6) = \frac{3888}{5} + \frac{- 2592 \cdot 5}{5} + \frac{2592}{1}$

Etapa 4.3.2.2.5

Multiplique $\frac{2592}{1}$ por $\frac{5}{5}$ .

$f (- 6) = \frac{3888}{5} + \frac{- 2592 \cdot 5}{5} + \frac{2592}{1} \cdot \frac{5}{5}$

Etapa 4.3.2.2.6

Multiplique $\frac{2592}{1}$ por $\frac{5}{5}$ .

$f (- 6) = \frac{3888}{5} + \frac{- 2592 \cdot 5}{5} + \frac{2592 \cdot 5}{5}$

Etapa 4.3.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- 6) = \frac{3888 - 2592 \cdot 5 + 2592 \cdot 5}{5}$

Etapa 4.3.2.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.4.1

Multiplique $- 2592$ por $5$ .

$f (- 6) = \frac{3888 - 12960 + 2592 \cdot 5}{5}$

Etapa 4.3.2.4.2

Multiplique $2592$ por $5$ .

$f (- 6) = \frac{3888 - 12960 + 12960}{5}$

Etapa 4.3.2.5

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.5.1

Subtraia $12960$ de $3888$ .

$f (- 6) = \frac{- 9072 + 12960}{5}$

Etapa 4.3.2.5.2

Some $- 9072$ e $12960$ .

$f (- 6) = \frac{3888}{5}$

Etapa 4.3.2.6

A resposta final é $\frac{3888}{5}$ .

$\frac{3888}{5}$

Etapa 4.4

O ponto encontrado ao substituir $- 6$ em $f (x) = - \frac{1}{10} x^{5} - 2 x^{4} - 12 x^{3}$ é $(- 6, \frac{3888}{5})$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(- 6, \frac{3888}{5})$

Etapa 4.5

Determine os pontos que poderiam ser de inflexão.

$(0, 0), (- 6, \frac{3888}{5})$

Etapa 5

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, - 6) \cup (- 6, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - 6)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 6.1$ na expressão.

$f'' (- 6.1) = - 2 {(- 6.1)}^{3} - 24 {(- 6.1)}^{2} - 72 \cdot - 6.1$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Eleve $- 6.1$ à potência de $3$ .

$f'' (- 6.1) = - 2 \cdot - 226.981 - 24 {(- 6.1)}^{2} - 72 \cdot - 6.1$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $- 2$ por $- 226.981$ .

$f'' (- 6.1) = 453.962 - 24 {(- 6.1)}^{2} - 72 \cdot - 6.1$

Etapa 6.2.1.3

Eleve $- 6.1$ à potência de $2$ .

$f'' (- 6.1) = 453.962 - 24 \cdot 37.21 - 72 \cdot - 6.1$

Etapa 6.2.1.4

Multiplique $- 24$ por $37.21$ .

$f'' (- 6.1) = 453.962 - 893.04 - 72 \cdot - 6.1$

Etapa 6.2.1.5

Multiplique $- 72$ por $- 6.1$ .

$f'' (- 6.1) = 453.962 - 893.04 + 439.2$

Etapa 6.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Subtraia $893.04$ de $453.962$ .

$f'' (- 6.1) = - 439.078 + 439.2$

Etapa 6.2.2.2

Some $- 439.078$ e $439.2$ .

$f'' (- 6.1) = 0.122$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $0.122$ .

$0.122$

Etapa 6.3

Em $- 6.1$ , a segunda derivada é $0.122$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(- \infty, - 6)$ .

Acréscimo em $(- \infty, - 6)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(- 6, 0)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $- 3$ na expressão.

$f'' (- 3) = - 2 {(- 3)}^{3} - 24 {(- 3)}^{2} - 72 \cdot - 3$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Eleve $- 3$ à potência de $3$ .

$f'' (- 3) = - 2 \cdot - 27 - 24 {(- 3)}^{2} - 72 \cdot - 3$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $- 2$ por $- 27$ .

$f'' (- 3) = 54 - 24 {(- 3)}^{2} - 72 \cdot - 3$

Etapa 7.2.1.3

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$f'' (- 3) = 54 - 24 \cdot 9 - 72 \cdot - 3$

Etapa 7.2.1.4

Multiplique $- 24$ por $9$ .

$f'' (- 3) = 54 - 216 - 72 \cdot - 3$

Etapa 7.2.1.5

Multiplique $- 72$ por $- 3$ .

$f'' (- 3) = 54 - 216 + 216$

Etapa 7.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Subtraia $216$ de $54$ .

$f'' (- 3) = - 162 + 216$

Etapa 7.2.2.2

Some $- 162$ e $216$ .

$f'' (- 3) = 54$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $54$ .

$54$

Etapa 7.3

Em $- 3$ , a segunda derivada é $54$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(- 6, 0)$ .

Acréscimo em $(- 6, 0)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 8

Substitua um valor do intervalo $(0, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $0.1$ na expressão.

$f'' (0.1) = - 2 {(0.1)}^{3} - 24 {(0.1)}^{2} - 72 \cdot 0.1$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1

Eleve $0.1$ à potência de $3$ .

$f'' (0.1) = - 2 \cdot 0.001 - 24 {(0.1)}^{2} - 72 \cdot 0.1$

Etapa 8.2.1.2

Multiplique $- 2$ por $0.001$ .

$f'' (0.1) = - 0.002 - 24 {(0.1)}^{2} - 72 \cdot 0.1$

Etapa 8.2.1.3

Eleve $0.1$ à potência de $2$ .

$f'' (0.1) = - 0.002 - 24 \cdot 0.01 - 72 \cdot 0.1$

Etapa 8.2.1.4

Multiplique $- 24$ por $0.01$ .

$f'' (0.1) = - 0.002 - 0.24 - 72 \cdot 0.1$

Etapa 8.2.1.5

Multiplique $- 72$ por $0.1$ .

$f'' (0.1) = - 0.002 - 0.24 - 7.2$

Etapa 8.2.2

Simplifique subtraindo os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.1

Subtraia $0.24$ de $- 0.002$ .

$f'' (0.1) = - 0.242 - 7.2$

Etapa 8.2.2.2

Subtraia $7.2$ de $- 0.242$ .

$f'' (0.1) = - 7.442$

Etapa 8.2.3

A resposta final é $- 7.442$ .

$- 7.442$

Etapa 8.3

Em $0.1$ , a segunda derivada é $- 7.442$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(0, \infty)$ .

Decréscimo em $(0, \infty)$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 9

O ponto de inflexão é um ponto em uma curva em que a concavidade muda do sinal de adição para o de subtração ou vice-versa. Neste caso, o ponto de inflexão é $(0, 0)$ .

$(0, 0)$

Etapa 10