Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{3}{\sqrt{2 x - 6}} - \frac{2}{x^{3}}$

Etapa 1

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 2

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{3}{\sqrt{2 x - 6}} - \frac{2}{x^{3}} d x$

Etapa 3

Divida a integral única em várias integrais.

$\int \frac{3}{\sqrt{2 x - 6}} d x + \int - \frac{2}{x^{3}} d x$

Etapa 4

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$3 \int \frac{1}{\sqrt{2 x - 6}} d x + \int - \frac{2}{x^{3}} d x$

Etapa 5

Deixe $u = 2 x - 6$ . Depois, $d u = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 5.1

Deixe $u = 2 x - 6$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 5.1.1

Diferencie $2 x - 6$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 6]$

Etapa 5.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x - 6$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Etapa 5.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Etapa 5.1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Etapa 5.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Etapa 5.1.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Etapa 5.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 5.1.4.1

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 + 0$

Etapa 5.1.4.2

Some $2$ e $0$ .

$2$

Etapa 5.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$3 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u + \int - \frac{2}{x^{3}} d x$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{u}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$3 \int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u + \int - \frac{2}{x^{3}} d x$

Etapa 6.2

Mova $2$ para a esquerda de $\sqrt{u}$ .

$3 \int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u + \int - \frac{2}{x^{3}} d x$

Etapa 7

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$3 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u) + \int - \frac{2}{x^{3}} d x$

Etapa 8

Combine frações.

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Etapa 8.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $3$ .

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u + \int - \frac{2}{x^{3}} d x$

Etapa 8.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 8.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u + \int - \frac{2}{x^{3}} d x$

Etapa 8.2.2

Mova $u^{\frac{1}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\frac{3}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u + \int - \frac{2}{x^{3}} d x$

Etapa 8.2.3

Multiplique os expoentes em ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 8.2.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u + \int - \frac{2}{x^{3}} d x$

Etapa 8.2.3.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\frac{3}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u + \int - \frac{2}{x^{3}} d x$

Etapa 8.2.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{3}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u + \int - \frac{2}{x^{3}} d x$

Etapa 9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- \frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) + \int - \frac{2}{x^{3}} d x$

Etapa 10

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{3}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - \int \frac{2}{x^{3}} d x$

Etapa 11

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$\frac{3}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - (2 \int \frac{1}{x^{3}} d x)$

Etapa 12

Simplifique a expressão.

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Etapa 12.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{3}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - 2 \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Etapa 12.2

Mova $x^{3}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\frac{3}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - 2 \int {(x^{3})}^{- 1} d x$

Etapa 12.3

Multiplique os expoentes em ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Etapa 12.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - 2 \int x^{3 \cdot - 1} d x$

Etapa 12.3.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{3}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - 2 \int x^{- 3} d x$

Etapa 13

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 3}$ com relação a $x$ é $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$\frac{3}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - 2 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C)$

Etapa 14

Simplifique.

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Etapa 14.1

Simplifique.

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Etapa 14.1.1

Combine $x^{- 2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - 2 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C)$

Etapa 14.1.2

Mova $x^{- 2}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C)$

Etapa 14.2

Simplifique.

$3 u^{\frac{1}{2}} - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + C$

Etapa 14.3

Simplifique.

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Etapa 14.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$3 u^{\frac{1}{2}} + 2 \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Etapa 14.3.2

Combine $2$ e $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$3 u^{\frac{1}{2}} + \frac{2}{2 x^{2}} + C$

Etapa 14.3.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 14.3.3.1

Cancele o fator comum.

$3 u^{\frac{1}{2}} + \frac{2}{2 x^{2}} + C$

Etapa 14.3.3.2

Reescreva a expressão.

$3 u^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{2}} + C$

Etapa 15

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x - 6$ .

$3 {(2 x - 6)}^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{2}} + C$

Etapa 16

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \frac{3}{\sqrt{2 x - 6}} - \frac{2}{x^{3}}$ .

$F (x) =$ $3 {(2 x - 6)}^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{2}} + C$