Cálculo Exemplos

$\int (e^{3 x} - 18 e^{- 4 x}) d x$

Etapa 1

Remova os parênteses.

$\int e^{3 x} - 18 e^{- 4 x} d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int e^{3 x} d x + \int - 18 e^{- 4 x} d x$

Etapa 3

Deixe $u_{1} = 3 x$ . Depois, $d u_{1} = 3 d x$ , então, $\frac{1}{3} d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 3.1

Deixe $u_{1} = 3 x$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Etapa 3.1.1

Diferencie $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Etapa 3.1.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Etapa 3.1.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$3$

Etapa 3.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int e^{u_{1}} \frac{1}{3} d u_{1} + \int - 18 e^{- 4 x} d x$

Etapa 4

Combine $e^{u_{1}}$ e $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{e^{u_{1}}}{3} d u_{1} + \int - 18 e^{- 4 x} d x$

Etapa 5

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int - 18 e^{- 4 x} d x$

Etapa 6

A integral de $e^{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $e^{u_{1}}$ .

$\frac{1}{3} (e^{u_{1}} + C) + \int - 18 e^{- 4 x} d x$

Etapa 7

Como $- 18$ é constante com relação a $x$ , mova $- 18$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} (e^{u_{1}} + C) - 18 \int e^{- 4 x} d x$

Etapa 8

Deixe $u_{2} = - 4 x$ . Depois, $d u_{2} = - 4 d x$ , então, $- \frac{1}{4} d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 8.1

Deixe $u_{2} = - 4 x$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 8.1.1

Diferencie $- 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$

Etapa 8.1.2

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 8.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 4 \cdot 1$

Etapa 8.1.4

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$- 4$

Etapa 8.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{3} (e^{u_{1}} + C) - 18 \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 4} d u_{2}$

Etapa 9

Simplifique.

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Etapa 9.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{3} (e^{u_{1}} + C) - 18 \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{4}) d u_{2}$

Etapa 9.2

Combine $e^{u_{2}}$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{3} (e^{u_{1}} + C) - 18 \int - \frac{e^{u_{2}}}{4} d u_{2}$

Etapa 10

Como $- 1$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} (e^{u_{1}} + C) - 18 (- \int \frac{e^{u_{2}}}{4} d u_{2})$

Etapa 11

Multiplique $- 1$ por $- 18$ .

$\frac{1}{3} (e^{u_{1}} + C) + 18 \int \frac{e^{u_{2}}}{4} d u_{2}$

Etapa 12

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} (e^{u_{1}} + C) + 18 (\frac{1}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Etapa 13

Simplifique.

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Etapa 13.1

Combine $\frac{1}{4}$ e $18$ .

$\frac{1}{3} (e^{u_{1}} + C) + \frac{18}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 13.2

Cancele o fator comum de $18$ e $4$ .

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Etapa 13.2.1

Fatore $2$ de $18$ .

$\frac{1}{3} (e^{u_{1}} + C) + \frac{2 (9)}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 13.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 13.2.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{1}{3} (e^{u_{1}} + C) + \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 13.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{3} (e^{u_{1}} + C) + \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 13.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{3} (e^{u_{1}} + C) + \frac{9}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 14

A integral de $e^{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $e^{u_{2}}$ .

$\frac{1}{3} (e^{u_{1}} + C) + \frac{9}{2} (e^{u_{2}} + C)$

Etapa 15

Simplifique.

$\frac{1}{3} e^{u_{1}} + \frac{9}{2} e^{u_{2}} + C$

Etapa 16

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 16.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $3 x$ .

$\frac{1}{3} e^{3 x} + \frac{9}{2} e^{u_{2}} + C$

Etapa 16.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $- 4 x$ .

$\frac{1}{3} e^{3 x} + \frac{9}{2} e^{- 4 x} + C$