Cálculo Exemplos

$z = y {(3 + 2 x)}^{4}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (z) = \frac{d}{d x} (y {(3 + 2 x)}^{4})$

Etapa 2

A derivada de $z$ em relação a $x$ é $z'$ .

$z'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Como $y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $y {(3 + 2 x)}^{4}$ em relação a $x$ é $y \frac{d}{d x} [{(3 + 2 x)}^{4}]$ .

$y \frac{d}{d x} [{(3 + 2 x)}^{4}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = 3 + 2 x$ .

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Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $3 + 2 x$ .

$y (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [3 + 2 x])$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$y (4 u^{3} \frac{d}{d x} [3 + 2 x])$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 + 2 x$ .

$y (4 {(3 + 2 x)}^{3} \frac{d}{d x} [3 + 2 x])$

Etapa 3.3

Diferencie.

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Etapa 3.3.1

Mova $4$ para a esquerda de $y$ .

$4 \cdot y {(3 + 2 x)}^{3} \frac{d}{d x} [3 + 2 x]$

Etapa 3.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 + 2 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$4 y {(3 + 2 x)}^{3} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 3.3.3

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 y {(3 + 2 x)}^{3} (0 + \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 3.3.4

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

$4 y {(3 + 2 x)}^{3} \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 3.3.5

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 y {(3 + 2 x)}^{3} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.3.6

Multiplique $2$ por $4$ .

$8 y {(3 + 2 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$8 y {(3 + 2 x)}^{3} \cdot 1$

Etapa 3.3.8

Multiplique $8$ por $1$ .

$8 y {(3 + 2 x)}^{3}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$z' = 8 y {(3 + 2 x)}^{3}$

Etapa 5

Substitua $z'$ por $\frac{d z}{d x}$ .

$\frac{d z}{d x} = 8 y {(3 + 2 x)}^{3}$