Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{1}{5 x - 2}$

Etapa 1

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 2

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{1}{5 x - 2} d x$

Etapa 3

Deixe $u = 5 x - 2$ . Depois, $d u = 5 d x$ , então, $\frac{1}{5} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 3.1

Deixe $u = 5 x - 2$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 3.1.1

Diferencie $5 x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [5 x - 2]$

Etapa 3.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 3.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Etapa 3.1.3.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 3.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 3.1.3.3

Multiplique $5$ por $1$ .

$5 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 3.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 3.1.4.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$5 + 0$

Etapa 3.1.4.2

Some $5$ e $0$ .

$5$

Etapa 3.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{5} d u$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{5}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 5} d u$

Etapa 4.2

Mova $5$ para a esquerda de $u$ .

$\int \frac{1}{5 u} d u$

Etapa 5

Como $\frac{1}{5}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{5}$ para fora da integral.

$\frac{1}{5} \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 6

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{5} (\ln (| u |) + C)$

Etapa 7

Simplifique.

$\frac{1}{5} \ln (| u |) + C$

Etapa 8

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $5 x - 2$ .

$\frac{1}{5} \ln (| 5 x - 2 |) + C$

Etapa 9

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \frac{1}{5 x - 2}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{5} \ln (| 5 x - 2 |) + C$