Cálculo Exemplos

$lim_{x \to - 6} \frac{\frac{x + 2}{x^{2} - 12} - \frac{1}{x}}{x + 6}$

Etapa 1

Combine os termos.

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Etapa 1.1

Para escrever $\frac{x + 2}{x^{2} - 12}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{\frac{x + 2}{x^{2} - 12} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x}}{x + 6}$

Etapa 1.2

Para escrever $- \frac{1}{x}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x^{2} - 12}{x^{2} - 12}$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{\frac{x + 2}{x^{2} - 12} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} - 12}{x^{2} - 12}}{x + 6}$

Etapa 1.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(x^{2} - 12) x$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 1.3.1

Multiplique $\frac{x + 2}{x^{2} - 12}$ por $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{\frac{(x + 2) x}{(x^{2} - 12) x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} - 12}{x^{2} - 12}}{x + 6}$

Etapa 1.3.2

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $\frac{x^{2} - 12}{x^{2} - 12}$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{\frac{(x + 2) x}{(x^{2} - 12) x} - \frac{x^{2} - 12}{x (x^{2} - 12)}}{x + 6}$

Etapa 1.3.3

Reordene os fatores de $(x^{2} - 12) x$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{\frac{(x + 2) x}{x (x^{2} - 12)} - \frac{x^{2} - 12}{x (x^{2} - 12)}}{x + 6}$

Etapa 1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to - 6} \frac{\frac{(x + 2) x - (x^{2} - 12)}{x (x^{2} - 12)}}{x + 6}$

Etapa 2

Simplifique o argumento do limite.

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Etapa 2.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to - 6} \frac{(x + 2) x - (x^{2} - 12)}{x (x^{2} - 12)} \cdot \frac{1}{x + 6}$

Etapa 2.2

Multiplique $\frac{(x + 2) x - (x^{2} - 12)}{x (x^{2} - 12)}$ por $\frac{1}{x + 6}$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{(x + 2) x - (x^{2} - 12)}{x (x^{2} - 12) (x + 6)}$

Etapa 3

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 3.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 3.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to - 6} (x + 2) x - (x^{2} - 12)}{lim_{x \to - 6} x (x^{2} - 12) (x + 6)}$

Etapa 3.1.2

Avalie os limites substituindo $- 6$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 3.1.2.1

Avalie o limite de $(x + 2) x - (x^{2} - 12)$ substituindo $- 6$ por $x$ .

$\frac{(- 6 + 2) \cdot - 6 - ({(- 6)}^{2} - 12)}{lim_{x \to - 6} x (x^{2} - 12) (x + 6)}$

Etapa 3.1.2.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.2.2.1

Some $- 6$ e $2$ .

$\frac{- 4 \cdot - 6 - ({(- 6)}^{2} - 12)}{lim_{x \to - 6} x (x^{2} - 12) (x + 6)}$

Etapa 3.1.2.2.2

Multiplique $- 4$ por $- 6$ .

$\frac{24 - ({(- 6)}^{2} - 12)}{lim_{x \to - 6} x (x^{2} - 12) (x + 6)}$

Etapa 3.1.2.2.3

Eleve $- 6$ à potência de $2$ .

$\frac{24 - (36 - 12)}{lim_{x \to - 6} x (x^{2} - 12) (x + 6)}$

Etapa 3.1.2.2.4

Subtraia $12$ de $36$ .

$\frac{24 - 1 \cdot 24}{lim_{x \to - 6} x (x^{2} - 12) (x + 6)}$

Etapa 3.1.2.2.5

Multiplique $- 1$ por $24$ .

$\frac{24 - 24}{lim_{x \to - 6} x (x^{2} - 12) (x + 6)}$

Etapa 3.1.2.3

Subtraia $24$ de $24$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 6} x (x^{2} - 12) (x + 6)}$

Etapa 3.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 3.1.3.1

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 6$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 6} x \cdot lim_{x \to - 6} x^{2} - 12 \cdot lim_{x \to - 6} x + 6}$

Etapa 3.1.3.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 6$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 6} x \cdot (lim_{x \to - 6} x^{2} - lim_{x \to - 6} 12) \cdot lim_{x \to - 6} x + 6}$

Etapa 3.1.3.3

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{lim_{x \to - 6} x \cdot ({(lim_{x \to - 6} x)}^{2} - lim_{x \to - 6} 12) \cdot lim_{x \to - 6} x + 6}$

Etapa 3.1.3.4

Avalie o limite de $12$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 6$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 6} x \cdot ({(lim_{x \to - 6} x)}^{2} - 1 \cdot 12) \cdot lim_{x \to - 6} x + 6}$

Etapa 3.1.3.5

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 6$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 6} x \cdot ({(lim_{x \to - 6} x)}^{2} - 1 \cdot 12) \cdot (lim_{x \to - 6} x + lim_{x \to - 6} 6)}$

Etapa 3.1.3.6

Avalie o limite de $6$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 6$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 6} x \cdot ({(lim_{x \to - 6} x)}^{2} - 1 \cdot 12) \cdot (lim_{x \to - 6} x + 6)}$

Etapa 3.1.3.7

Avalie os limites substituindo $- 6$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 3.1.3.7.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 6$ por $x$ .

$\frac{0}{- 6 \cdot ({(lim_{x \to - 6} x)}^{2} - 1 \cdot 12) \cdot (lim_{x \to - 6} x + 6)}$

Etapa 3.1.3.7.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 6$ por $x$ .

$\frac{0}{- 6 \cdot ({(- 6)}^{2} - 1 \cdot 12) \cdot (lim_{x \to - 6} x + 6)}$

Etapa 3.1.3.7.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 6$ por $x$ .

$\frac{0}{- 6 \cdot ({(- 6)}^{2} - 1 \cdot 12) \cdot (- 6 + 6)}$

Etapa 3.1.3.8

Simplifique a resposta.

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Etapa 3.1.3.8.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.3.8.1.1

Eleve $- 6$ à potência de $2$ .

$\frac{0}{- 6 \cdot (36 - 1 \cdot 12) \cdot (- 6 + 6)}$

Etapa 3.1.3.8.1.2

Multiplique $- 1$ por $12$ .

$\frac{0}{- 6 \cdot (36 - 12) \cdot (- 6 + 6)}$

Etapa 3.1.3.8.2

Subtraia $12$ de $36$ .

$\frac{0}{- 6 \cdot 24 \cdot (- 6 + 6)}$

Etapa 3.1.3.8.3

Multiplique $- 6$ por $24$ .

$\frac{0}{- 144 \cdot (- 6 + 6)}$

Etapa 3.1.3.8.4

Some $- 6$ e $6$ .

$\frac{0}{- 144 \cdot 0}$

Etapa 3.1.3.8.5

Multiplique $- 144$ por $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 3.1.3.8.6

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 3.1.3.9

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 3.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 3.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to - 6} \frac{(x + 2) x - (x^{2} - 12)}{x (x^{2} - 12) (x + 6)} = lim_{x \to - 6} \frac{\frac{d}{d x} [(x + 2) x - (x^{2} - 12)]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12) (x + 6)]}$

Etapa 3.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to - 6} \frac{\frac{d}{d x} [(x + 2) x - (x^{2} - 12)]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12) (x + 6)]}$

Etapa 3.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $(x + 2) x - (x^{2} - 12)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [(x + 2) x] + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 12)]$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{\frac{d}{d x} [(x + 2) x] + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 12)]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12) (x + 6)]}$

Etapa 3.3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [(x + 2) x]$ .

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Etapa 3.3.3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x + 2$ e $g (x) = x$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{(x + 2) \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [x + 2] + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 12)]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12) (x + 6)]}$

Etapa 3.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{(x + 2) \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [x + 2] + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 12)]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12) (x + 6)]}$

Etapa 3.3.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{(x + 2) \cdot 1 + x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 12)]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12) (x + 6)]}$

Etapa 3.3.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{(x + 2) \cdot 1 + x (1 + \frac{d}{d x} [2]) + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 12)]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12) (x + 6)]}$

Etapa 3.3.3.5

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{(x + 2) \cdot 1 + x (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 12)]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12) (x + 6)]}$

Etapa 3.3.3.6

Multiplique $x + 2$ por $1$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{x + 2 + x (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 12)]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12) (x + 6)]}$

Etapa 3.3.3.7

Some $1$ e $0$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{x + 2 + x \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 12)]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12) (x + 6)]}$

Etapa 3.3.3.8

Multiplique $x$ por $1$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{x + 2 + x + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 12)]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12) (x + 6)]}$

Etapa 3.3.3.9

Some $x$ e $x$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2 x + 2 + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 12)]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12) (x + 6)]}$

Etapa 3.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- (x^{2} - 12)]$ .

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Etapa 3.3.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- (x^{2} - 12)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2} - 12]$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2 x + 2 - \frac{d}{d x} [x^{2} - 12]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12) (x + 6)]}$

Etapa 3.3.4.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 12$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2 x + 2 - (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12])}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12) (x + 6)]}$

Etapa 3.3.4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2 x + 2 - (2 x + \frac{d}{d x} [- 12])}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12) (x + 6)]}$

Etapa 3.3.4.4

Como $- 12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 12$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2 x + 2 - (2 x + 0)}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12) (x + 6)]}$

Etapa 3.3.4.5

Some $2 x$ e $0$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2 x + 2 - (2 x)}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12) (x + 6)]}$

Etapa 3.3.4.6

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2 x + 2 - 2 x}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12) (x + 6)]}$

Etapa 3.3.5

Combine os termos.

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Etapa 3.3.5.1

Subtraia $2 x$ de $2 x$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{0 + 2}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12) (x + 6)]}$

Etapa 3.3.5.2

Some $0$ e $2$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12) (x + 6)]}$

Etapa 3.3.6

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x (x^{2} - 12)$ e $g (x) = x + 6$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} [x + 6] + (x + 6) \frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12)]}$

Etapa 3.3.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 6$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x (x^{2} - 12) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]) + (x + 6) \frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12)]}$

Etapa 3.3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x (x^{2} - 12) (1 + \frac{d}{d x} [6]) + (x + 6) \frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12)]}$

Etapa 3.3.9

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x (x^{2} - 12) (1 + 0) + (x + 6) \frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12)]}$

Etapa 3.3.10

Some $1$ e $0$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x (x^{2} - 12) \cdot 1 + (x + 6) \frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12)]}$

Etapa 3.3.11

Multiplique $x$ por $1$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x (x^{2} - 12) + (x + 6) \frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12)]}$

Etapa 3.3.12

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = x^{2} - 12$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x (x^{2} - 12) + (x + 6) (x \frac{d}{d x} [x^{2} - 12] + (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} [x])}$

Etapa 3.3.13

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 12$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x (x^{2} - 12) + (x + 6) (x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12]) + (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} [x])}$

Etapa 3.3.14

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x (x^{2} - 12) + (x + 6) (x (2 x + \frac{d}{d x} [- 12]) + (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} [x])}$

Etapa 3.3.15

Como $- 12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 12$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x (x^{2} - 12) + (x + 6) (x (2 x + 0) + (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} [x])}$

Etapa 3.3.16

Some $2 x$ e $0$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x (x^{2} - 12) + (x + 6) (x (2 x) + (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} [x])}$

Etapa 3.3.17

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x (x^{2} - 12) + (x + 6) (2 (x^{1} x) + (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} [x])}$

Etapa 3.3.18

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x (x^{2} - 12) + (x + 6) (2 (x^{1} x^{1}) + (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} [x])}$

Etapa 3.3.19

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x (x^{2} - 12) + (x + 6) (2 x^{1 + 1} + (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} [x])}$

Etapa 3.3.20

Some $1$ e $1$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x (x^{2} - 12) + (x + 6) (2 x^{2} + (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} [x])}$

Etapa 3.3.21

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x (x^{2} - 12) + (x + 6) (2 x^{2} + (x^{2} - 12) \cdot 1)}$

Etapa 3.3.22

Multiplique $x^{2} - 12$ por $1$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x (x^{2} - 12) + (x + 6) (2 x^{2} + x^{2} - 12)}$

Etapa 3.3.23

Some $2 x^{2}$ e $x^{2}$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x (x^{2} - 12) + (x + 6) (3 x^{2} - 12)}$

Etapa 3.3.24

Simplifique.

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Etapa 3.3.24.1

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x \cdot x^{2} + x \cdot - 12 + (x + 6) (3 x^{2} - 12)}$

Etapa 3.3.24.2

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x \cdot x^{2} + x \cdot - 12 + (x + 6) (3 x^{2}) + (x + 6) \cdot - 12}$

Etapa 3.3.24.3

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x \cdot x^{2} + x \cdot - 12 + x (3 x^{2}) + 6 (3 x^{2}) + (x + 6) \cdot - 12}$

Etapa 3.3.24.4

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x \cdot x^{2} + x \cdot - 12 + x (3 x^{2}) + 6 (3 x^{2}) + x \cdot - 12 + 6 \cdot - 12}$

Etapa 3.3.24.5

Combine os termos.

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Etapa 3.3.24.5.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.3.24.5.1.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.24.5.1.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x^{1} x^{2} + x \cdot - 12 + x (3 x^{2}) + 6 (3 x^{2}) + x \cdot - 12 + 6 \cdot - 12}$

Etapa 3.3.24.5.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x^{1 + 2} + x \cdot - 12 + x (3 x^{2}) + 6 (3 x^{2}) + x \cdot - 12 + 6 \cdot - 12}$

Etapa 3.3.24.5.1.2

Some $1$ e $2$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x^{3} + x \cdot - 12 + x (3 x^{2}) + 6 (3 x^{2}) + x \cdot - 12 + 6 \cdot - 12}$

Etapa 3.3.24.5.2

Mova $- 12$ para a esquerda de $x$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x^{3} - 12 \cdot x + x (3 x^{2}) + 6 (3 x^{2}) + x \cdot - 12 + 6 \cdot - 12}$

Etapa 3.3.24.5.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x^{3} - 12 x + 3 (x^{1} x^{2}) + 6 (3 x^{2}) + x \cdot - 12 + 6 \cdot - 12}$

Etapa 3.3.24.5.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x^{3} - 12 x + 3 x^{1 + 2} + 6 (3 x^{2}) + x \cdot - 12 + 6 \cdot - 12}$

Etapa 3.3.24.5.5

Some $1$ e $2$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x^{3} - 12 x + 3 x^{3} + 6 (3 x^{2}) + x \cdot - 12 + 6 \cdot - 12}$

Etapa 3.3.24.5.6

Multiplique $3$ por $6$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x^{3} - 12 x + 3 x^{3} + 18 x^{2} + x \cdot - 12 + 6 \cdot - 12}$

Etapa 3.3.24.5.7

Mova $- 12$ para a esquerda de $x$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x^{3} - 12 x + 3 x^{3} + 18 x^{2} - 12 \cdot x + 6 \cdot - 12}$

Etapa 3.3.24.5.8

Multiplique $6$ por $- 12$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x^{3} - 12 x + 3 x^{3} + 18 x^{2} - 12 x - 72}$

Etapa 3.3.24.5.9

Some $x^{3}$ e $3 x^{3}$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{4 x^{3} - 12 x + 18 x^{2} - 12 x - 72}$

Etapa 3.3.24.5.10

Subtraia $12 x$ de $- 12 x$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{4 x^{3} + 18 x^{2} - 24 x - 72}$

Etapa 3.4

Cancele o fator comum de $2$ e $4 x^{3} + 18 x^{2} - 24 x - 72$ .

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Etapa 3.4.1

Fatore $2$ de $2$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2 (1)}{4 x^{3} + 18 x^{2} - 24 x - 72}$

Etapa 3.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.4.2.1

Fatore $2$ de $4 x^{3}$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2 (1)}{2 (2 x^{3}) + 18 x^{2} - 24 x - 72}$

Etapa 3.4.2.2

Fatore $2$ de $18 x^{2}$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2 (1)}{2 (2 x^{3}) + 2 (9 x^{2}) - 24 x - 72}$

Etapa 3.4.2.3

Fatore $2$ de $2 (2 x^{3}) + 2 (9 x^{2})$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2 (1)}{2 (2 x^{3} + 9 x^{2}) - 24 x - 72}$

Etapa 3.4.2.4

Fatore $2$ de $- 24 x$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2 (1)}{2 (2 x^{3} + 9 x^{2}) + 2 (- 12 x) - 72}$

Etapa 3.4.2.5

Fatore $2$ de $2 (2 x^{3} + 9 x^{2}) + 2 (- 12 x)$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2 (1)}{2 (2 x^{3} + 9 x^{2} - 12 x) - 72}$

Etapa 3.4.2.6

Fatore $2$ de $- 72$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2 \cdot 1}{2 (2 x^{3} + 9 x^{2} - 12 x) + 2 \cdot - 36}$

Etapa 3.4.2.7

Fatore $2$ de $2 (2 x^{3} + 9 x^{2} - 12 x) + 2 (- 36)$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2 (1)}{2 (2 x^{3} + 9 x^{2} - 12 x - 36)}$

Etapa 3.4.2.8

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to - 6} \frac{2 \cdot 1}{2 (2 x^{3} + 9 x^{2} - 12 x - 36)}$

Etapa 3.4.2.9

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to - 6} \frac{1}{2 x^{3} + 9 x^{2} - 12 x - 36}$

Etapa 4

Avalie o limite.

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Etapa 4.1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 6$ .

$\frac{lim_{x \to - 6} 1}{lim_{x \to - 6} 2 x^{3} + 9 x^{2} - 12 x - 36}$

Etapa 4.2

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 6$ .

$\frac{1}{lim_{x \to - 6} 2 x^{3} + 9 x^{2} - 12 x - 36}$

Etapa 4.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 6$ .

$\frac{1}{lim_{x \to - 6} 2 x^{3} + lim_{x \to - 6} 9 x^{2} - lim_{x \to - 6} 12 x - lim_{x \to - 6} 36}$

Etapa 4.4

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2 lim_{x \to - 6} x^{3} + lim_{x \to - 6} 9 x^{2} - lim_{x \to - 6} 12 x - lim_{x \to - 6} 36}$

Etapa 4.5

Mova o expoente $3$ de $x^{3}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{1}{2 {(lim_{x \to - 6} x)}^{3} + lim_{x \to - 6} 9 x^{2} - lim_{x \to - 6} 12 x - lim_{x \to - 6} 36}$

Etapa 4.6

Mova o termo $9$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2 {(lim_{x \to - 6} x)}^{3} + 9 lim_{x \to - 6} x^{2} - lim_{x \to - 6} 12 x - lim_{x \to - 6} 36}$

Etapa 4.7

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{1}{2 {(lim_{x \to - 6} x)}^{3} + 9 {(lim_{x \to - 6} x)}^{2} - lim_{x \to - 6} 12 x - lim_{x \to - 6} 36}$

Etapa 4.8

Mova o termo $12$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2 {(lim_{x \to - 6} x)}^{3} + 9 {(lim_{x \to - 6} x)}^{2} - 12 lim_{x \to - 6} x - lim_{x \to - 6} 36}$

Etapa 4.9

Avalie o limite de $36$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 6$ .

$\frac{1}{2 {(lim_{x \to - 6} x)}^{3} + 9 {(lim_{x \to - 6} x)}^{2} - 12 lim_{x \to - 6} x - 1 \cdot 36}$

Etapa 5

Avalie os limites substituindo $- 6$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 5.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 6$ por $x$ .

$\frac{1}{2 {(- 6)}^{3} + 9 {(lim_{x \to - 6} x)}^{2} - 12 lim_{x \to - 6} x - 1 \cdot 36}$

Etapa 5.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 6$ por $x$ .

$\frac{1}{2 {(- 6)}^{3} + 9 {(- 6)}^{2} - 12 lim_{x \to - 6} x - 1 \cdot 36}$

Etapa 5.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 6$ por $x$ .

$\frac{1}{2 {(- 6)}^{3} + 9 {(- 6)}^{2} - 12 \cdot - 6 - 1 \cdot 36}$

Etapa 6

Simplifique a resposta.

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Etapa 6.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 6.1.1

Eleve $- 6$ à potência de $3$ .

$\frac{1}{2 \cdot - 216 + 9 {(- 6)}^{2} - 12 \cdot - 6 - 1 \cdot 36}$

Etapa 6.1.2

Multiplique $2$ por $- 216$ .

$\frac{1}{- 432 + 9 {(- 6)}^{2} - 12 \cdot - 6 - 1 \cdot 36}$

Etapa 6.1.3

Eleve $- 6$ à potência de $2$ .

$\frac{1}{- 432 + 9 \cdot 36 - 12 \cdot - 6 - 1 \cdot 36}$

Etapa 6.1.4

Multiplique $9$ por $36$ .

$\frac{1}{- 432 + 324 - 12 \cdot - 6 - 1 \cdot 36}$

Etapa 6.1.5

Multiplique $- 12$ por $- 6$ .

$\frac{1}{- 432 + 324 + 72 - 1 \cdot 36}$

Etapa 6.1.6

Multiplique $- 1$ por $36$ .

$\frac{1}{- 432 + 324 + 72 - 36}$

Etapa 6.1.7

Some $- 432$ e $324$ .

$\frac{1}{- 108 + 72 - 36}$

Etapa 6.1.8

Some $- 108$ e $72$ .

$\frac{1}{- 36 - 36}$

Etapa 6.1.9

Subtraia $36$ de $- 36$ .

$\frac{1}{- 72}$

Etapa 6.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{72}$

Etapa 7

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{1}{72}$

Forma decimal:

$- 0.013\overline{8}$