Cálculo Exemplos

$\frac{1}{\cos^{4} (x)}$

Etapa 1

Escreva $\frac{1}{\cos^{4} (x)}$ como uma função.

$f (x) = \frac{1}{\cos^{4} (x)}$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{1}{\cos^{4} (x)} d x$

Etapa 4

Converta de $\frac{1}{\cos^{4} (x)}$ em $\sec^{4} (x)$ .

$\int \sec^{4} (x) d x$

Etapa 5

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.1

Reescreva $4$ como $2$ mais $2$

$\int {\sec (x)}^{2 + 2} d x$

Etapa 5.2

Reescreva ${\sec (x)}^{2 + 2}$ como $\sec^{2} (x) \sec^{2} (x)$ .

$\int \sec^{2} (x) \sec^{2} (x) d x$

Etapa 6

Usando a fórmula de Pitágoras, reescreva $\sec^{2} (x)$ como $1 + \tan^{2} (x)$ .

$\int (1 + \tan^{2} (x)) \sec^{2} (x) d x$

Etapa 7

Deixe $u = \tan (x)$ . Depois, $d u = \sec^{2} (x) d x$ , então, $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 7.1

Deixe $u = \tan (x)$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 7.1.1

Diferencie $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Etapa 7.1.2

A derivada de $\tan (x)$ em relação a $x$ é $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

Etapa 7.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int 1 + u^{2} d u$

Etapa 8

Divida a integral única em várias integrais.

$\int d u + \int u^{2} d u$

Etapa 9

Aplique a regra da constante.

$u + C + \int u^{2} d u$

Etapa 10

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{2}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$u + C + \frac{1}{3} u^{3} + C$

Etapa 11

Simplifique.

$u + \frac{1}{3} u^{3} + C$

Etapa 12

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\tan (x)$ .

$\tan (x) + \frac{1}{3} \tan^{3} (x) + C$

Etapa 13

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \frac{1}{\cos^{4} (x)}$ .

$F (x) =$ $\tan (x) + \frac{1}{3} \tan^{3} (x) + C$