Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} - 36 x$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} - 36 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Como $- \frac{3}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{3}{2} x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 x^{2} - \frac{3}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$3 x^{2} - 2 (\frac{3}{2}) x + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Etapa 1.1.2.4

Combine $- 2$ e $\frac{3}{2}$ .

$3 x^{2} + \frac{- 2 \cdot 3}{2} x + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Etapa 1.1.2.5

Multiplique $- 2$ por $3$ .

$3 x^{2} + \frac{- 6}{2} x + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Etapa 1.1.2.6

Combine $\frac{- 6}{2}$ e $x$ .

$3 x^{2} + \frac{- 6 x}{2} + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Etapa 1.1.2.7

Cancele o fator comum de $- 6$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.7.1

Fatore $2$ de $- 6 x$ .

$3 x^{2} + \frac{2 (- 3 x)}{2} + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Etapa 1.1.2.7.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.7.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$3 x^{2} + \frac{2 (- 3 x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Etapa 1.1.2.7.2.2

Cancele o fator comum.

$3 x^{2} + \frac{2 (- 3 x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Etapa 1.1.2.7.2.3

Reescreva a expressão.

$3 x^{2} + \frac{- 3 x}{1} + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Etapa 1.1.2.7.2.4

Divida $- 3 x$ por $1$ .

$3 x^{2} - 3 x + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 36 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Como $- 36$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 36 x$ em relação a $x$ é $- 36 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 3 x - 36 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 x^{2} - 3 x - 36 \cdot 1$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $- 36$ por $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 3 x - 36$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $3 x^{2} - 3 x - 36$ .

$3 x^{2} - 3 x - 36$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $3 x^{2} - 3 x - 36 = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$3 x^{2} - 3 x - 36 = 0$

Etapa 2.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Fatore $3$ de $3 x^{2} - 3 x - 36$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Fatore $3$ de $3 x^{2}$ .

$3 (x^{2}) - 3 x - 36 = 0$

Etapa 2.2.1.2

Fatore $3$ de $- 3 x$ .

$3 (x^{2}) + 3 (- x) - 36 = 0$

Etapa 2.2.1.3

Fatore $3$ de $- 36$ .

$3 (x^{2}) + 3 (- x) + 3 (- 12) = 0$

Etapa 2.2.1.4

Fatore $3$ de $3 (x^{2}) + 3 (- x)$ .

$3 (x^{2} - x) + 3 (- 12) = 0$

Etapa 2.2.1.5

Fatore $3$ de $3 (x^{2} - x) + 3 (- 12)$ .

$3 (x^{2} - x - 12) = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore.

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Etapa 2.2.2.1

Fatore $x^{2} - x - 12$ usando o método AC.

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Etapa 2.2.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 12$ e cuja soma é $- 1$ .

$- 4, 3$

Etapa 2.2.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$3 ((x - 4) (x + 3)) = 0$

Etapa 2.2.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$3 (x - 4) (x + 3) = 0$

Etapa 2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 3 = 0$

Etapa 2.4

Defina $x - 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Defina $x - 4$ como igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Etapa 2.4.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = 4$

Etapa 2.5

Defina $x + 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Defina $x + 3$ como igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Etapa 2.5.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $3 (x - 4) (x + 3) = 0$ verdadeiro.

$x = 4, - 3$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 4

Avalie $x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} - 36 x$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $x = 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Substitua $4$ por $x$ .

${(4)}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(4)}^{2} - 36 \cdot 4$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

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Etapa 4.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.1

Eleve $4$ à potência de $3$ .

$64 - \frac{3}{2} \cdot {(4)}^{2} - 36 \cdot 4$

Etapa 4.1.2.1.2

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$64 - \frac{3}{2} \cdot 16 - 36 \cdot 4$

Etapa 4.1.2.1.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{3}{2}$ para o numerador.

$64 + \frac{- 3}{2} \cdot 16 - 36 \cdot 4$

Etapa 4.1.2.1.3.2

Fatore $2$ de $16$ .

$64 + \frac{- 3}{2} \cdot (2 (8)) - 36 \cdot 4$

Etapa 4.1.2.1.3.3

Cancele o fator comum.

$64 + \frac{- 3}{2} \cdot (2 \cdot 8) - 36 \cdot 4$

Etapa 4.1.2.1.3.4

Reescreva a expressão.

$64 - 3 \cdot 8 - 36 \cdot 4$

Etapa 4.1.2.1.4

Multiplique $- 3$ por $8$ .

$64 - 24 - 36 \cdot 4$

Etapa 4.1.2.1.5

Multiplique $- 36$ por $4$ .

$64 - 24 - 144$

Etapa 4.1.2.2

Simplifique subtraindo os números.

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Etapa 4.1.2.2.1

Subtraia $24$ de $64$ .

$40 - 144$

Etapa 4.1.2.2.2

Subtraia $144$ de $40$ .

$- 104$

Etapa 4.2

Avalie em $x = - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Substitua $- 3$ por $x$ .

${(- 3)}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 3)}^{2} - 36 \cdot - 3$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.1

Eleve $- 3$ à potência de $3$ .

$- 27 - \frac{3}{2} \cdot {(- 3)}^{2} - 36 \cdot - 3$

Etapa 4.2.2.1.2

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$- 27 - \frac{3}{2} \cdot 9 - 36 \cdot - 3$

Etapa 4.2.2.1.3

Multiplique $- \frac{3}{2} \cdot 9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.3.1

Multiplique $9$ por $- 1$ .

$- 27 - 9 (\frac{3}{2}) - 36 \cdot - 3$

Etapa 4.2.2.1.3.2

Combine $- 9$ e $\frac{3}{2}$ .

$- 27 + \frac{- 9 \cdot 3}{2} - 36 \cdot - 3$

Etapa 4.2.2.1.3.3

Multiplique $- 9$ por $3$ .

$- 27 + \frac{- 27}{2} - 36 \cdot - 3$

Etapa 4.2.2.1.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- 27 - \frac{27}{2} - 36 \cdot - 3$

Etapa 4.2.2.1.5

Multiplique $- 36$ por $- 3$ .

$- 27 - \frac{27}{2} + 108$

Etapa 4.2.2.2

Encontre o denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.2.1

Escreva $- 27$ como uma fração com denominador $1$ .

$\frac{- 27}{1} - \frac{27}{2} + 108$

Etapa 4.2.2.2.2

Multiplique $\frac{- 27}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 27}{1} \cdot \frac{2}{2} - \frac{27}{2} + 108$

Etapa 4.2.2.2.3

Multiplique $\frac{- 27}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 27 \cdot 2}{2} - \frac{27}{2} + 108$

Etapa 4.2.2.2.4

Escreva $108$ como uma fração com denominador $1$ .

$\frac{- 27 \cdot 2}{2} - \frac{27}{2} + \frac{108}{1}$

Etapa 4.2.2.2.5

Multiplique $\frac{108}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 27 \cdot 2}{2} - \frac{27}{2} + \frac{108}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 4.2.2.2.6

Multiplique $\frac{108}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 27 \cdot 2}{2} - \frac{27}{2} + \frac{108 \cdot 2}{2}$

Etapa 4.2.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 27 \cdot 2 - 27 + 108 \cdot 2}{2}$

Etapa 4.2.2.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.4.1

Multiplique $- 27$ por $2$ .

$\frac{- 54 - 27 + 108 \cdot 2}{2}$

Etapa 4.2.2.4.2

Multiplique $108$ por $2$ .

$\frac{- 54 - 27 + 216}{2}$

Etapa 4.2.2.5

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.5.1

Subtraia $27$ de $- 54$ .

$\frac{- 81 + 216}{2}$

Etapa 4.2.2.5.2

Some $- 81$ e $216$ .

$\frac{135}{2}$

Etapa 4.3

Liste todos os pontos.

$(4, - 104), (- 3, \frac{135}{2})$

Etapa 5