Cálculo Exemplos

$- \frac{1}{6} x^{6} - x^{5} + 5 x^{4}$

Etapa 1

Escreva $- \frac{1}{6} x^{6} - x^{5} + 5 x^{4}$ como uma função.

$f (x) = - \frac{1}{6} x^{6} - x^{5} + 5 x^{4}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- \frac{1}{6} x^{6} - x^{5} + 5 x^{4}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{6}] + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{6}] + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Etapa 2.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{6}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Como $- \frac{1}{6}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{1}{6} x^{6}$ em relação a $x$ é $- \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$- \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Etapa 2.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 6$ .

$- \frac{1}{6} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Etapa 2.1.2.3

Multiplique $6$ por $- 1$ .

$- 6 (\frac{1}{6}) x^{5} + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Etapa 2.1.2.4

Combine $- 6$ e $\frac{1}{6}$ .

$\frac{- 6}{6} x^{5} + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Etapa 2.1.2.5

Combine $\frac{- 6}{6}$ e $x^{5}$ .

$\frac{- 6 x^{5}}{6} + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Etapa 2.1.2.6

Cancele o fator comum de $- 6$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.6.1

Fatore $6$ de $- 6 x^{5}$ .

$\frac{6 (- x^{5})}{6} + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Etapa 2.1.2.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.6.2.1

Fatore $6$ de $6$ .

$\frac{6 (- x^{5})}{6 (1)} + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Etapa 2.1.2.6.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{6 (- x^{5})}{6 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Etapa 2.1.2.6.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- x^{5}}{1} + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Etapa 2.1.2.6.2.4

Divida $- x^{5}$ por $1$ .

$- x^{5} + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Etapa 2.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{5}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{5}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- x^{5} - \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Etapa 2.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$- x^{5} - (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Etapa 2.1.3.3

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$- x^{5} - 5 x^{4} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Etapa 2.1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.4.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{4}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- x^{5} - 5 x^{4} + 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 2.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$- x^{5} - 5 x^{4} + 5 (4 x^{3})$

Etapa 2.1.4.3

Multiplique $4$ por $5$ .

$f' (x) = - x^{5} - 5 x^{4} + 20 x^{3}$

Etapa 2.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- x^{5} - 5 x^{4} + 20 x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Etapa 2.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{5}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{5}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Etapa 2.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$- (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Etapa 2.2.2.3

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$- 5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Etapa 2.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 x^{4}$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- 5 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Etapa 2.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$- 5 x^{4} - 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Etapa 2.2.3.3

Multiplique $4$ por $- 5$ .

$- 5 x^{4} - 20 x^{3} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Etapa 2.2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.1

Como $20$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $20 x^{3}$ em relação a $x$ é $20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 5 x^{4} - 20 x^{3} + 20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 2.2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$- 5 x^{4} - 20 x^{3} + 20 (3 x^{2})$

Etapa 2.2.4.3

Multiplique $3$ por $20$ .

$f'' (x) = - 5 x^{4} - 20 x^{3} + 60 x^{2}$

Etapa 2.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 5 x^{4} - 20 x^{3} + 60 x^{2}$ .

$- 5 x^{4} - 20 x^{3} + 60 x^{2}$

Etapa 3

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 5 x^{4} - 20 x^{3} + 60 x^{2} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$- 5 x^{4} - 20 x^{3} + 60 x^{2} = 0$

Etapa 3.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Fatore $- 5 x^{2}$ de $- 5 x^{4} - 20 x^{3} + 60 x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Fatore $- 5 x^{2}$ de $- 5 x^{4}$ .

$- 5 x^{2} x^{2} - 20 x^{3} + 60 x^{2} = 0$

Etapa 3.2.1.2

Fatore $- 5 x^{2}$ de $- 20 x^{3}$ .

$- 5 x^{2} x^{2} - 5 x^{2} (4 x) + 60 x^{2} = 0$

Etapa 3.2.1.3

Fatore $- 5 x^{2}$ de $60 x^{2}$ .

$- 5 x^{2} x^{2} - 5 x^{2} (4 x) - 5 x^{2} \cdot - 12 = 0$

Etapa 3.2.1.4

Fatore $- 5 x^{2}$ de $- 5 x^{2} (x^{2}) - 5 x^{2} (4 x)$ .

$- 5 x^{2} (x^{2} + 4 x) - 5 x^{2} \cdot - 12 = 0$

Etapa 3.2.1.5

Fatore $- 5 x^{2}$ de $- 5 x^{2} (x^{2} + 4 x) - 5 x^{2} (- 12)$ .

$- 5 x^{2} (x^{2} + 4 x - 12) = 0$

Etapa 3.2.2

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Fatore $x^{2} + 4 x - 12$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 12$ e cuja soma é $4$ .

$- 2, 6$

Etapa 3.2.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$- 5 x^{2} ((x - 2) (x + 6)) = 0$

Etapa 3.2.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- 5 x^{2} (x - 2) (x + 6) = 0$

Etapa 3.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

$x - 2 = 0$

$x + 6 = 0$

Etapa 3.4

Defina $x^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Defina $x^{2}$ como igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

Etapa 3.4.2

Resolva $x^{2} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 3.4.2.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 3.4.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 3.4.2.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 3.5

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 3.5.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 3.6

Defina $x + 6$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1

Defina $x + 6$ como igual a $0$ .

$x + 6 = 0$

Etapa 3.6.2

Subtraia $6$ dos dois lados da equação.

$x = - 6$

Etapa 3.7

A solução final são todos os valores que tornam $- 5 x^{2} (x - 2) (x + 6) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 2, - 6$

Etapa 4

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua $0$ em $f (x) = - \frac{1}{6} x^{6} - x^{5} + 5 x^{4}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = - \frac{1}{6} \cdot {(0)}^{6} - {(0)}^{5} + 5 {(0)}^{4}$

Etapa 4.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = - \frac{1}{6} \cdot 0 - {(0)}^{5} + 5 {(0)}^{4}$

Etapa 4.1.2.1.2

Multiplique $- \frac{1}{6} \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.2.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$f (0) = 0 (\frac{1}{6}) - {(0)}^{5} + 5 {(0)}^{4}$

Etapa 4.1.2.1.2.2

Multiplique $0$ por $\frac{1}{6}$ .

$f (0) = 0 - {(0)}^{5} + 5 {(0)}^{4}$

Etapa 4.1.2.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 0 - 0 + 5 {(0)}^{4}$

Etapa 4.1.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 5 {(0)}^{4}$

Etapa 4.1.2.1.5

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 5 \cdot 0$

Etapa 4.1.2.1.6

Multiplique $5$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0$

Etapa 4.1.2.2

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.2.1

Some $0$ e $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Etapa 4.1.2.2.2

Some $0$ e $0$ .

$f (0) = 0$

Etapa 4.1.2.3

A resposta final é $0$ .

$0$

Etapa 4.2

O ponto encontrado ao substituir $0$ em $f (x) = - \frac{1}{6} x^{6} - x^{5} + 5 x^{4}$ é $(0, 0)$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(0, 0)$

Etapa 4.3

Substitua $2$ em $f (x) = - \frac{1}{6} x^{6} - x^{5} + 5 x^{4}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f (2) = - \frac{1}{6} \cdot {(2)}^{6} - {(2)}^{5} + 5 {(2)}^{4}$

Etapa 4.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.1

Eleve $2$ à potência de $6$ .

$f (2) = - \frac{1}{6} \cdot 64 - {(2)}^{5} + 5 {(2)}^{4}$

Etapa 4.3.2.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{6}$ para o numerador.

$f (2) = \frac{- 1}{6} \cdot 64 - {(2)}^{5} + 5 {(2)}^{4}$

Etapa 4.3.2.1.2.2

Fatore $2$ de $6$ .

$f (2) = \frac{- 1}{2 (3)} \cdot 64 - {(2)}^{5} + 5 {(2)}^{4}$

Etapa 4.3.2.1.2.3

Fatore $2$ de $64$ .

$f (2) = \frac{- 1}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot 32) - {(2)}^{5} + 5 {(2)}^{4}$

Etapa 4.3.2.1.2.4

Cancele o fator comum.

$f (2) = \frac{- 1}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot 32) - {(2)}^{5} + 5 {(2)}^{4}$

Etapa 4.3.2.1.2.5

Reescreva a expressão.

$f (2) = \frac{- 1}{3} \cdot 32 - {(2)}^{5} + 5 {(2)}^{4}$

Etapa 4.3.2.1.3

Combine $\frac{- 1}{3}$ e $32$ .

$f (2) = \frac{- 1 \cdot 32}{3} - {(2)}^{5} + 5 {(2)}^{4}$

Etapa 4.3.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $32$ .

$f (2) = \frac{- 32}{3} - {(2)}^{5} + 5 {(2)}^{4}$

Etapa 4.3.2.1.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (2) = - \frac{32}{3} - {(2)}^{5} + 5 {(2)}^{4}$

Etapa 4.3.2.1.6

Eleve $2$ à potência de $5$ .

$f (2) = - \frac{32}{3} - 1 \cdot 32 + 5 {(2)}^{4}$

Etapa 4.3.2.1.7

Multiplique $- 1$ por $32$ .

$f (2) = - \frac{32}{3} - 32 + 5 {(2)}^{4}$

Etapa 4.3.2.1.8

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$f (2) = - \frac{32}{3} - 32 + 5 \cdot 16$

Etapa 4.3.2.1.9

Multiplique $5$ por $16$ .

$f (2) = - \frac{32}{3} - 32 + 80$

Etapa 4.3.2.2

Encontre o denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.2.1

Escreva $- 32$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (2) = - \frac{32}{3} + \frac{- 32}{1} + 80$

Etapa 4.3.2.2.2

Multiplique $\frac{- 32}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (2) = - \frac{32}{3} + \frac{- 32}{1} \cdot \frac{3}{3} + 80$

Etapa 4.3.2.2.3

Multiplique $\frac{- 32}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (2) = - \frac{32}{3} + \frac{- 32 \cdot 3}{3} + 80$

Etapa 4.3.2.2.4

Escreva $80$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (2) = - \frac{32}{3} + \frac{- 32 \cdot 3}{3} + \frac{80}{1}$

Etapa 4.3.2.2.5

Multiplique $\frac{80}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (2) = - \frac{32}{3} + \frac{- 32 \cdot 3}{3} + \frac{80}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 4.3.2.2.6

Multiplique $\frac{80}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (2) = - \frac{32}{3} + \frac{- 32 \cdot 3}{3} + \frac{80 \cdot 3}{3}$

Etapa 4.3.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (2) = \frac{- 32 - 32 \cdot 3 + 80 \cdot 3}{3}$

Etapa 4.3.2.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.4.1

Multiplique $- 32$ por $3$ .

$f (2) = \frac{- 32 - 96 + 80 \cdot 3}{3}$

Etapa 4.3.2.4.2

Multiplique $80$ por $3$ .

$f (2) = \frac{- 32 - 96 + 240}{3}$

Etapa 4.3.2.5

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.5.1

Subtraia $96$ de $- 32$ .

$f (2) = \frac{- 128 + 240}{3}$

Etapa 4.3.2.5.2

Some $- 128$ e $240$ .

$f (2) = \frac{112}{3}$

Etapa 4.3.2.6

A resposta final é $\frac{112}{3}$ .

$\frac{112}{3}$

Etapa 4.4

O ponto encontrado ao substituir $2$ em $f (x) = - \frac{1}{6} x^{6} - x^{5} + 5 x^{4}$ é $(2, \frac{112}{3})$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(2, \frac{112}{3})$

Etapa 4.5

Substitua $- 6$ em $f (x) = - \frac{1}{6} x^{6} - x^{5} + 5 x^{4}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.1

Substitua a variável $x$ por $- 6$ na expressão.

$f (- 6) = - \frac{1}{6} \cdot {(- 6)}^{6} - {(- 6)}^{5} + 5 {(- 6)}^{4}$

Etapa 4.5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.1.1

Eleve $- 6$ à potência de $6$ .

$f (- 6) = - \frac{1}{6} \cdot 46656 - {(- 6)}^{5} + 5 {(- 6)}^{4}$

Etapa 4.5.2.1.2

Cancele o fator comum de $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.1.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{6}$ para o numerador.

$f (- 6) = \frac{- 1}{6} \cdot 46656 - {(- 6)}^{5} + 5 {(- 6)}^{4}$

Etapa 4.5.2.1.2.2

Fatore $6$ de $46656$ .

$f (- 6) = \frac{- 1}{6} \cdot (6 (7776)) - {(- 6)}^{5} + 5 {(- 6)}^{4}$

Etapa 4.5.2.1.2.3

Cancele o fator comum.

$f (- 6) = \frac{- 1}{6} \cdot (6 \cdot 7776) - {(- 6)}^{5} + 5 {(- 6)}^{4}$

Etapa 4.5.2.1.2.4

Reescreva a expressão.

$f (- 6) = - 1 \cdot 7776 - {(- 6)}^{5} + 5 {(- 6)}^{4}$

Etapa 4.5.2.1.3

Multiplique $- 1$ por $7776$ .

$f (- 6) = - 7776 - {(- 6)}^{5} + 5 {(- 6)}^{4}$

Etapa 4.5.2.1.4

Eleve $- 6$ à potência de $5$ .

$f (- 6) = - 7776 + 7776 + 5 {(- 6)}^{4}$

Etapa 4.5.2.1.5

Multiplique $- 1$ por $- 7776$ .

$f (- 6) = - 7776 + 7776 + 5 {(- 6)}^{4}$

Etapa 4.5.2.1.6

Eleve $- 6$ à potência de $4$ .

$f (- 6) = - 7776 + 7776 + 5 \cdot 1296$

Etapa 4.5.2.1.7

Multiplique $5$ por $1296$ .

$f (- 6) = - 7776 + 7776 + 6480$

Etapa 4.5.2.2

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.2.1

Some $- 7776$ e $7776$ .

$f (- 6) = 0 + 6480$

Etapa 4.5.2.2.2

Some $0$ e $6480$ .

$f (- 6) = 6480$

Etapa 4.5.2.3

A resposta final é $6480$ .

$6480$

Etapa 4.6

O ponto encontrado ao substituir $- 6$ em $f (x) = - \frac{1}{6} x^{6} - x^{5} + 5 x^{4}$ é $(- 6, 6480)$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(- 6, 6480)$

Etapa 4.7

Determine os pontos que poderiam ser de inflexão.

$(0, 0), (2, \frac{112}{3}), (- 6, 6480)$

Etapa 5

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, - 6) \cup (- 6, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - 6)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 6.1$ na expressão.

$f'' (- 6.1) = - 5 {(- 6.1)}^{4} - 20 {(- 6.1)}^{3} + 60 {(- 6.1)}^{2}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Eleve $- 6.1$ à potência de $4$ .

$f'' (- 6.1) = - 5 \cdot 1384.5841 - 20 {(- 6.1)}^{3} + 60 {(- 6.1)}^{2}$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $- 5$ por $1384.5841$ .

$f'' (- 6.1) = - 6922.9205 - 20 {(- 6.1)}^{3} + 60 {(- 6.1)}^{2}$

Etapa 6.2.1.3

Eleve $- 6.1$ à potência de $3$ .

$f'' (- 6.1) = - 6922.9205 - 20 \cdot - 226.981 + 60 {(- 6.1)}^{2}$

Etapa 6.2.1.4

Multiplique $- 20$ por $- 226.981$ .

$f'' (- 6.1) = - 6922.9205 + 4539.62 + 60 {(- 6.1)}^{2}$

Etapa 6.2.1.5

Eleve $- 6.1$ à potência de $2$ .

$f'' (- 6.1) = - 6922.9205 + 4539.62 + 60 \cdot 37.21$

Etapa 6.2.1.6

Multiplique $60$ por $37.21$ .

$f'' (- 6.1) = - 6922.9205 + 4539.62 + 2232.6$

Etapa 6.2.2

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Some $- 6922.9205$ e $4539.62$ .

$f'' (- 6.1) = - 2383.3005 + 2232.6$

Etapa 6.2.2.2

Some $- 2383.3005$ e $2232.6$ .

$f'' (- 6.1) = - 150.7005$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $- 150.7005$ .

$- 150.7005$

Etapa 6.3

Em $- 6.1$ , a segunda derivada é $- 150.7005$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(- \infty, - 6)$ .

Decréscimo em $(- \infty, - 6)$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(- 6, 0)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $- 3$ na expressão.

$f'' (- 3) = - 5 {(- 3)}^{4} - 20 {(- 3)}^{3} + 60 {(- 3)}^{2}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Eleve $- 3$ à potência de $4$ .

$f'' (- 3) = - 5 \cdot 81 - 20 {(- 3)}^{3} + 60 {(- 3)}^{2}$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $- 5$ por $81$ .

$f'' (- 3) = - 405 - 20 {(- 3)}^{3} + 60 {(- 3)}^{2}$

Etapa 7.2.1.3

Eleve $- 3$ à potência de $3$ .

$f'' (- 3) = - 405 - 20 \cdot - 27 + 60 {(- 3)}^{2}$

Etapa 7.2.1.4

Multiplique $- 20$ por $- 27$ .

$f'' (- 3) = - 405 + 540 + 60 {(- 3)}^{2}$

Etapa 7.2.1.5

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$f'' (- 3) = - 405 + 540 + 60 \cdot 9$

Etapa 7.2.1.6

Multiplique $60$ por $9$ .

$f'' (- 3) = - 405 + 540 + 540$

Etapa 7.2.2

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Some $- 405$ e $540$ .

$f'' (- 3) = 135 + 540$

Etapa 7.2.2.2

Some $135$ e $540$ .

$f'' (- 3) = 675$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $675$ .

$675$

Etapa 7.3

Em $- 3$ , a segunda derivada é $675$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(- 6, 0)$ .

Acréscimo em $(- 6, 0)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 8

Substitua um valor do intervalo $(0, 2)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f'' (1) = - 5 {(1)}^{4} - 20 {(1)}^{3} + 60 {(1)}^{2}$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f'' (1) = - 5 \cdot 1 - 20 {(1)}^{3} + 60 {(1)}^{2}$

Etapa 8.2.1.2

Multiplique $- 5$ por $1$ .

$f'' (1) = - 5 - 20 {(1)}^{3} + 60 {(1)}^{2}$

Etapa 8.2.1.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$f'' (1) = - 5 - 20 \cdot 1 + 60 {(1)}^{2}$

Etapa 8.2.1.4

Multiplique $- 20$ por $1$ .

$f'' (1) = - 5 - 20 + 60 {(1)}^{2}$

Etapa 8.2.1.5

Um elevado a qualquer potência é um.

$f'' (1) = - 5 - 20 + 60 \cdot 1$

Etapa 8.2.1.6

Multiplique $60$ por $1$ .

$f'' (1) = - 5 - 20 + 60$

Etapa 8.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.1

Subtraia $20$ de $- 5$ .

$f'' (1) = - 25 + 60$

Etapa 8.2.2.2

Some $- 25$ e $60$ .

$f'' (1) = 35$

Etapa 8.2.3

A resposta final é $35$ .

$35$

Etapa 8.3

Em $1$ , a segunda derivada é $35$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(0, 2)$ .

Acréscimo em $(0, 2)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 9

Substitua um valor do intervalo $(2, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Substitua a variável $x$ por $2.1$ na expressão.

$f'' (2.1) = - 5 {(2.1)}^{4} - 20 {(2.1)}^{3} + 60 {(2.1)}^{2}$

Etapa 9.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1.1

Eleve $2.1$ à potência de $4$ .

$f'' (2.1) = - 5 \cdot 19.4481 - 20 {(2.1)}^{3} + 60 {(2.1)}^{2}$

Etapa 9.2.1.2

Multiplique $- 5$ por $19.4481$ .

$f'' (2.1) = - 97.2405 - 20 {(2.1)}^{3} + 60 {(2.1)}^{2}$

Etapa 9.2.1.3

Eleve $2.1$ à potência de $3$ .

$f'' (2.1) = - 97.2405 - 20 \cdot 9.261 + 60 {(2.1)}^{2}$

Etapa 9.2.1.4

Multiplique $- 20$ por $9.261$ .

$f'' (2.1) = - 97.2405 - 185.22 + 60 {(2.1)}^{2}$

Etapa 9.2.1.5

Eleve $2.1$ à potência de $2$ .

$f'' (2.1) = - 97.2405 - 185.22 + 60 \cdot 4.41$

Etapa 9.2.1.6

Multiplique $60$ por $4.41$ .

$f'' (2.1) = - 97.2405 - 185.22 + 264.6$

Etapa 9.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 9.2.2.1

Subtraia $185.22$ de $- 97.2405$ .

$f'' (2.1) = - 282.4605 + 264.6$

Etapa 9.2.2.2

Some $- 282.4605$ e $264.6$ .

$f'' (2.1) = - 17.8605$

Etapa 9.2.3

A resposta final é $- 17.8605$ .

$- 17.8605$

Etapa 9.3

Em $2.1$ , a segunda derivada é $- 17.8605$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(2, \infty)$ .

Decréscimo em $(2, \infty)$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 10

O ponto de inflexão é um ponto em uma curva em que a concavidade muda do sinal de adição para o de subtração ou vice-versa. Neste caso, os pontos de inflexão são $(- 6, 6480), (2, \frac{112}{3})$ .

$(- 6, 6480), (2, \frac{112}{3})$

Etapa 11