Cálculo Exemplos

$y = \frac{x - 6}{4 x}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Como $\frac{1}{4}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x - 6}{4 x}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{x - 6}{x}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{x - 6}{x}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x - 6$ e $g (x) = x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [x - 6] - (x - 6) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.3

Diferencie.

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Etapa 1.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 6$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]) - (x - 6) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x (1 + \frac{d}{d x} [- 6]) - (x - 6) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.3.3

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x (1 + 0) - (x - 6) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.3.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.3.4.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x \cdot 1 - (x - 6) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.3.4.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x - (x - 6) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x - (x - 6) \cdot 1}{x^{2}}$

Etapa 1.3.6

Combine frações.

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Etapa 1.3.6.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x - (x - 6)}{x^{2}}$

Etapa 1.3.6.2

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $\frac{x - (x - 6)}{x^{2}}$ .

$\frac{x - (x - 6)}{4 x^{2}}$

Etapa 1.4

Simplifique.

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Etapa 1.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x - x - - 6}{4 x^{2}}$

Etapa 1.4.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.4.2.1

Subtraia $x$ de $x$ .

$\frac{0 - - 6}{4 x^{2}}$

Etapa 1.4.2.2

Subtraia $- 6$ de $0$ .

$\frac{- - 6}{4 x^{2}}$

Etapa 1.4.2.3

Multiplique $- 1$ por $- 6$ .

$\frac{6}{4 x^{2}}$

Etapa 1.4.3

Cancele o fator comum de $6$ e $4$ .

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Etapa 1.4.3.1

Fatore $2$ de $6$ .

$\frac{2 (3)}{4 x^{2}}$

Etapa 1.4.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.4.3.2.1

Fatore $2$ de $4 x^{2}$ .

$\frac{2 (3)}{2 (2 x^{2})}$

Etapa 1.4.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 3}{2 (2 x^{2})}$

Etapa 1.4.3.2.3

Reescreva a expressão.

$f' (x) = \frac{3}{2 x^{2}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

Como $\frac{3}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{3}{2 x^{2}}$ em relação a $x$ é $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Etapa 2.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.2.1

Reescreva $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Etapa 2.2.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}]$

Etapa 2.2.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 2$ .

$\frac{3}{2} (- 2 x^{- 3})$

Etapa 2.4

Simplifique os termos.

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Etapa 2.4.1

Combine $- 2$ e $\frac{3}{2}$ .

$\frac{- 2 \cdot 3}{2} x^{- 3}$

Etapa 2.4.2

Multiplique $- 2$ por $3$ .

$\frac{- 6}{2} x^{- 3}$

Etapa 2.4.3

Combine $\frac{- 6}{2}$ e $x^{- 3}$ .

$\frac{- 6 x^{- 3}}{2}$

Etapa 2.4.4

Mova $x^{- 3}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 6}{2 x^{3}}$

Etapa 2.4.5

Cancele o fator comum de $- 6$ e $2$ .

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Etapa 2.4.5.1

Fatore $2$ de $- 6$ .

$\frac{2 \cdot - 3}{2 x^{3}}$

Etapa 2.4.5.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.4.5.2.1

Fatore $2$ de $2 x^{3}$ .

$\frac{2 \cdot - 3}{2 (x^{3})}$

Etapa 2.4.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot - 3}{2 x^{3}}$

Etapa 2.4.5.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 3}{x^{3}}$

Etapa 2.4.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - \frac{3}{x^{3}}$

Etapa 3

Encontre a terceira derivada.

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Etapa 3.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{3}{x^{3}}$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Etapa 3.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 3.2.1

Reescreva $\frac{1}{x^{3}}$ como ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Etapa 3.2.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Etapa 3.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{3 \cdot - 1}]$

Etapa 3.2.2.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 3$ .

$- 3 (- 3 x^{- 4})$

Etapa 3.4

Multiplique $- 3$ por $- 3$ .

$9 x^{- 4}$

Etapa 3.5

Simplifique.

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Etapa 3.5.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$9 \frac{1}{x^{4}}$

Etapa 3.5.2

Combine $9$ e $\frac{1}{x^{4}}$ .

$f''' (x) = \frac{9}{x^{4}}$