Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{4 x^{3}}{3} - 4 x + 1$ on $- 3$ , $1$

Etapa 1

Encontre os pontos críticos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{4 x^{3}}{3} - 4 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{3}}{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1

Como $\frac{4}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{4 x^{3}}{3}$ em relação a $x$ é $\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{4}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.1.2.3

Combine $3$ e $\frac{4}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 4}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.1.2.4

Multiplique $3$ por $4$ .

$\frac{12}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.1.2.5

Combine $\frac{12}{3}$ e $x^{2}$ .

$\frac{12 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.1.2.6

Cancele o fator comum de $12$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.6.1

Fatore $3$ de $12 x^{2}$ .

$\frac{3 (4 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.1.2.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.6.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{3 (4 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.1.2.6.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 (4 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.1.2.6.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{4 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.1.2.6.2.4

Divida $4 x^{2}$ por $1$ .

$4 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 x^{2} - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.1.3.3

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$4 x^{2} - 4 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.4.1

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 x^{2} - 4 + 0$

Etapa 1.1.1.4.2

Some $4 x^{2} - 4$ e $0$ .

$f' (x) = 4 x^{2} - 4$

Etapa 1.1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $4 x^{2} - 4$ .

$4 x^{2} - 4$

Etapa 1.2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $4 x^{2} - 4 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$4 x^{2} - 4 = 0$

Etapa 1.2.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$4 x^{2} = 4$

Etapa 1.2.3

Divida cada termo em $4 x^{2} = 4$ por $4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Divida cada termo em $4 x^{2} = 4$ por $4$ .

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{4}{4}$

Etapa 1.2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{4}{4}$

Etapa 1.2.3.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{4}{4}$

Etapa 1.2.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.3.1

Divida $4$ por $4$ .

$x^{2} = 1$

Etapa 1.2.4

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{1}$

Etapa 1.2.5

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$x = \pm 1$

Etapa 1.2.6

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 1$

Etapa 1.2.6.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 1$

Etapa 1.2.6.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 1, - 1$

Etapa 1.3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 1.4

Avalie $\frac{4 x^{3}}{3} - 4 x + 1$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Avalie em $x = 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.1

Substitua $1$ por $x$ .

$\frac{4 {(1)}^{3}}{3} - 4 \cdot 1 + 1$

Etapa 1.4.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{4 \cdot 1}{3} - 4 \cdot 1 + 1$

Etapa 1.4.1.2.1.2

Multiplique $4$ por $1$ .

$\frac{4}{3} - 4 \cdot 1 + 1$

Etapa 1.4.1.2.1.3

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$\frac{4}{3} - 4 + 1$

Etapa 1.4.1.2.2

Encontre o denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.2.1

Escreva $- 4$ como uma fração com denominador $1$ .

$\frac{4}{3} + \frac{- 4}{1} + 1$

Etapa 1.4.1.2.2.2

Multiplique $\frac{- 4}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} + \frac{- 4}{1} \cdot \frac{3}{3} + 1$

Etapa 1.4.1.2.2.3

Multiplique $\frac{- 4}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3} + 1$

Etapa 1.4.1.2.2.4

Escreva $1$ como uma fração com denominador $1$ .

$\frac{4}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3} + \frac{1}{1}$

Etapa 1.4.1.2.2.5

Multiplique $\frac{1}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3} + \frac{1}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 1.4.1.2.2.6

Multiplique $\frac{1}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3} + \frac{3}{3}$

Etapa 1.4.1.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{4 - 4 \cdot 3 + 3}{3}$

Etapa 1.4.1.2.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.4.1

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$\frac{4 - 12 + 3}{3}$

Etapa 1.4.1.2.4.2

Subtraia $12$ de $4$ .

$\frac{- 8 + 3}{3}$

Etapa 1.4.1.2.4.3

Some $- 8$ e $3$ .

$\frac{- 5}{3}$

Etapa 1.4.1.2.4.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{5}{3}$

Etapa 1.4.2

Avalie em $x = - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Substitua $- 1$ por $x$ .

$\frac{4 {(- 1)}^{3}}{3} - 4 \cdot - 1 + 1$

Etapa 1.4.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$\frac{4 \cdot - 1}{3} - 4 \cdot - 1 + 1$

Etapa 1.4.2.2.1.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$\frac{- 4}{3} - 4 \cdot - 1 + 1$

Etapa 1.4.2.2.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{4}{3} - 4 \cdot - 1 + 1$

Etapa 1.4.2.2.1.4

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$- \frac{4}{3} + 4 + 1$

Etapa 1.4.2.2.2

Encontre o denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.2.1

Escreva $4$ como uma fração com denominador $1$ .

$- \frac{4}{3} + \frac{4}{1} + 1$

Etapa 1.4.2.2.2.2

Multiplique $\frac{4}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{4}{3} + \frac{4}{1} \cdot \frac{3}{3} + 1$

Etapa 1.4.2.2.2.3

Multiplique $\frac{4}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{4}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3} + 1$

Etapa 1.4.2.2.2.4

Escreva $1$ como uma fração com denominador $1$ .

$- \frac{4}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3} + \frac{1}{1}$

Etapa 1.4.2.2.2.5

Multiplique $\frac{1}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{4}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3} + \frac{1}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 1.4.2.2.2.6

Multiplique $\frac{1}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{4}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3} + \frac{3}{3}$

Etapa 1.4.2.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 4 + 4 \cdot 3 + 3}{3}$

Etapa 1.4.2.2.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.4.1

Multiplique $4$ por $3$ .

$\frac{- 4 + 12 + 3}{3}$

Etapa 1.4.2.2.4.2

Some $- 4$ e $12$ .

$\frac{8 + 3}{3}$

Etapa 1.4.2.2.4.3

Some $8$ e $3$ .

$\frac{11}{3}$

Etapa 1.4.3

Liste todos os pontos.

$(1, - \frac{5}{3}), (- 1, \frac{11}{3})$

Etapa 2

Avalie nos pontos finais incluídos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Avalie em $x = - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Substitua $- 3$ por $x$ .

$\frac{4 {(- 3)}^{3}}{3} - 4 \cdot - 3 + 1$

Etapa 2.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.1

Cancele o fator comum de ${(- 3)}^{3}$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.1.1

Reescreva $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$\frac{4 {(- 1 (3))}^{3}}{3} - 4 \cdot - 3 + 1$

Etapa 2.1.2.1.1.2

Aplique a regra do produto a $- 1 (3)$ .

$\frac{4 ({(- 1)}^{3} \cdot 3^{3})}{3} - 4 \cdot - 3 + 1$

Etapa 2.1.2.1.1.3

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$\frac{4 (- 1 \cdot 3^{3})}{3} - 4 \cdot - 3 + 1$

Etapa 2.1.2.1.1.4

Fatore $3$ de $4 (- 1 \cdot 3^{3})$ .

$\frac{3 (4 (- 1 \cdot 3^{2}))}{3} - 4 \cdot - 3 + 1$

Etapa 2.1.2.1.1.5

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.1.5.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{3 (4 (- 1 \cdot 3^{2}))}{3 (1)} - 4 \cdot - 3 + 1$

Etapa 2.1.2.1.1.5.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 (4 (- 1 \cdot 3^{2}))}{3 \cdot 1} - 4 \cdot - 3 + 1$

Etapa 2.1.2.1.1.5.3

Reescreva a expressão.

$\frac{4 (- 1 \cdot 3^{2})}{1} - 4 \cdot - 3 + 1$

Etapa 2.1.2.1.1.5.4

Divida $4 (- 1 \cdot 3^{2})$ por $1$ .

$4 (- 1 \cdot 3^{2}) - 4 \cdot - 3 + 1$

Etapa 2.1.2.1.2

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$4 (- 1 \cdot 9) - 4 \cdot - 3 + 1$

Etapa 2.1.2.1.3

Multiplique $4 (- 1 \cdot 9)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $9$ .

$4 \cdot - 9 - 4 \cdot - 3 + 1$

Etapa 2.1.2.1.3.2

Multiplique $4$ por $- 9$ .

$- 36 - 4 \cdot - 3 + 1$

Etapa 2.1.2.1.4

Multiplique $- 4$ por $- 3$ .

$- 36 + 12 + 1$

Etapa 2.1.2.2

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.2.1

Some $- 36$ e $12$ .

$- 24 + 1$

Etapa 2.1.2.2.2

Some $- 24$ e $1$ .

$- 23$

Etapa 2.2

Avalie em $x = 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Substitua $1$ por $x$ .

$\frac{4 {(1)}^{3}}{3} - 4 \cdot 1 + 1$

Etapa 2.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{4 \cdot 1}{3} - 4 \cdot 1 + 1$

Etapa 2.2.2.1.2

Multiplique $4$ por $1$ .

$\frac{4}{3} - 4 \cdot 1 + 1$

Etapa 2.2.2.1.3

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$\frac{4}{3} - 4 + 1$

Etapa 2.2.2.2

Encontre o denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.2.1

Escreva $- 4$ como uma fração com denominador $1$ .

$\frac{4}{3} + \frac{- 4}{1} + 1$

Etapa 2.2.2.2.2

Multiplique $\frac{- 4}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} + \frac{- 4}{1} \cdot \frac{3}{3} + 1$

Etapa 2.2.2.2.3

Multiplique $\frac{- 4}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3} + 1$

Etapa 2.2.2.2.4

Escreva $1$ como uma fração com denominador $1$ .

$\frac{4}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3} + \frac{1}{1}$

Etapa 2.2.2.2.5

Multiplique $\frac{1}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3} + \frac{1}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 2.2.2.2.6

Multiplique $\frac{1}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3} + \frac{3}{3}$

Etapa 2.2.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{4 - 4 \cdot 3 + 3}{3}$

Etapa 2.2.2.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.4.1

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$\frac{4 - 12 + 3}{3}$

Etapa 2.2.2.4.2

Subtraia $12$ de $4$ .

$\frac{- 8 + 3}{3}$

Etapa 2.2.2.4.3

Some $- 8$ e $3$ .

$\frac{- 5}{3}$

Etapa 2.2.2.4.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{5}{3}$

Etapa 2.3

Liste todos os pontos.

$(- 3, - 23), (1, - \frac{5}{3})$

Etapa 3

Compare os valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar o máximo e mínimo absolutos no intervalo determinado. O máximo ocorrerá no valor mais alto de $f (x)$ , e o mínimo ocorrerá no valor mais baixo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(- 1, \frac{11}{3})$

Mínimo absoluto: $(- 3, - 23)$

Etapa 4