Cálculo Exemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{9 x^{2} + 4} + 5 x}{4 x + 3}$

Etapa 1

Divida o numerador e o denominador pela potência mais alta de $x$ no denominador, que é $\sqrt{x^{2}} = x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{9 x^{2}}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}} + \frac{5 x}{x}}{\frac{4 x}{x} + \frac{3}{x}}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 2.1.1

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{9 x^{2}}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}} + \frac{5 x}{x}}{\frac{4 x}{x} + \frac{3}{x}}$

Etapa 2.1.2

Divida $5$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{9 x^{2}}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}} + 5}{\frac{4 x}{x} + \frac{3}{x}}$

Etapa 2.2

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 2.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{9 x^{2}}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}} + 5}{4 + \frac{3}{x}}$

Etapa 2.2.2

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 2.2.2.1

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{9 x^{2}}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}} + 5}{4 + \frac{3}{x}}$

Etapa 2.2.2.2

Divida $9$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{9 + \frac{4}{x^{2}}} + 5}{4 + \frac{3}{x}}$

Etapa 2.3

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{9 + \frac{4}{x^{2}}} + 5}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{3}{x}}$

Etapa 2.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{9 + \frac{4}{x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 5}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{3}{x}}$

Etapa 2.5

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 9 + \frac{4}{x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 5}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{3}{x}}$

Etapa 2.6

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 9 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 5}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{3}{x}}$

Etapa 2.7

Avalie o limite de $9$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\sqrt{9 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 5}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{3}{x}}$

Etapa 2.8

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{\sqrt{9 + 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 5}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{3}{x}}$

Etapa 3

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x^{2}}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\sqrt{9 + 4 \cdot 0} + lim_{x \to \infty} 5}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{3}{x}}$

Etapa 4

Avalie o limite.

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Etapa 4.1

Avalie o limite de $5$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\sqrt{9 + 4 \cdot 0} + 5}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{3}{x}}$

Etapa 4.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\sqrt{9 + 4 \cdot 0} + 5}{lim_{x \to \infty} 4 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}$

Etapa 4.3

Avalie o limite de $4$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\sqrt{9 + 4 \cdot 0} + 5}{4 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}$

Etapa 4.4

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{\sqrt{9 + 4 \cdot 0} + 5}{4 + 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Etapa 5

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\sqrt{9 + 4 \cdot 0} + 5}{4 + 3 \cdot 0}$

Etapa 6

Simplifique a resposta.

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Etapa 6.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1.1

Multiplique $4$ por $0$ .

$\frac{\sqrt{9 + 0} + 5}{4 + 3 \cdot 0}$

Etapa 6.1.2

Some $9$ e $0$ .

$\frac{\sqrt{9} + 5}{4 + 3 \cdot 0}$

Etapa 6.1.3

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2}} + 5}{4 + 3 \cdot 0}$

Etapa 6.1.4

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{3 + 5}{4 + 3 \cdot 0}$

Etapa 6.1.5

Some $3$ e $5$ .

$\frac{8}{4 + 3 \cdot 0}$

Etapa 6.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 6.2.1

Multiplique $3$ por $0$ .

$\frac{8}{4 + 0}$

Etapa 6.2.2

Some $4$ e $0$ .

$\frac{8}{4}$

Etapa 6.3

Divida $8$ por $4$ .

$2$