Cálculo Exemplos

$\int \frac{9 x^{7}}{x^{8} + 9} d x$

Etapa 1

Como $9$ é constante com relação a $x$ , mova $9$ para fora da integral.

$9 \int \frac{x^{7}}{x^{8} + 9} d x$

Etapa 2

Deixe $u = x^{8} + 9$ . Depois, $d u = 8 x^{7} d x$ , então, $\frac{1}{8} d u = x^{7} d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u = x^{8} + 9$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $x^{8} + 9$ .

$\frac{d}{d x} [x^{8} + 9]$

Etapa 2.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{8} + 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{8}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{8}] + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 8$ .

$8 x^{7} + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 2.1.4

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9$ em relação a $x$ é $0$ .

$8 x^{7} + 0$

Etapa 2.1.5

Some $8 x^{7}$ e $0$ .

$8 x^{7}$

Etapa 2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$9 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{8} d u$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{8}$ .

$9 \int \frac{1}{u \cdot 8} d u$

Etapa 3.2

Mova $8$ para a esquerda de $u$ .

$9 \int \frac{1}{8 u} d u$

Etapa 4

Como $\frac{1}{8}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{8}$ para fora da integral.

$9 (\frac{1}{8} \int \frac{1}{u} d u)$

Etapa 5

Combine $\frac{1}{8}$ e $9$ .

$\frac{9}{8} \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 6

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\frac{9}{8} (\ln (| u |) + C)$

Etapa 7

Simplifique.

$\frac{9}{8} \ln (| u |) + C$

Etapa 8

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{8} + 9$ .

$\frac{9}{8} \ln (| x^{8} + 9 |) + C$