Cálculo Exemplos

$f (x) = \sqrt{3} \sin (x) + \cos (x)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sqrt{3} \sin (x) + \cos (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\sqrt{3} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{3} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\sqrt{3} \sin (x)]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $\sqrt{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\sqrt{3} \sin (x)$ em relação a $x$ é $\sqrt{3} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\sqrt{3} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 1.2.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$\sqrt{3} \cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 1.3

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$\sqrt{3} \cos (x) - \sin (x)$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sqrt{3} \cos (x) - \sin (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\sqrt{3} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\sqrt{3} \cos (x)) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\sqrt{3} \cos (x)]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $\sqrt{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\sqrt{3} \cos (x)$ em relação a $x$ é $\sqrt{3} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f'' (x) = \sqrt{3} \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

Etapa 2.2.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = \sqrt{3} (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \sin (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = \sqrt{3} (- \sin (x)) - \frac{d}{d x} \sin (x)$

Etapa 2.3.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$f'' (x) = \sqrt{3} (- \sin (x)) - \cos (x)$

Etapa 2.4

Reordene os termos.

$f'' (x) = - \sqrt{3} \sin (x) - \cos (x)$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$\sqrt{3} \cos (x) - \sin (x) = 0$

Etapa 4

Divida cada termo na equação por $\cos (x)$ .

$\frac{\sqrt{3} \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 5

Cancele o fator comum de $\cos (x)$ .

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Etapa 5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{3} \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 5.2

Divida $\sqrt{3}$ por $1$ .

$\sqrt{3} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 6

Separe as frações.

$\sqrt{3} + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 7

Converta de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ em $\tan (x)$ .

$\sqrt{3} + \frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 8

Divida $- 1$ por $1$ .

$\sqrt{3} - \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 9

Separe as frações.

$\sqrt{3} - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Etapa 10

Converta de $\frac{1}{\cos (x)}$ em $\sec (x)$ .

$\sqrt{3} - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Etapa 11

Divida $0$ por $1$ .

$\sqrt{3} - \tan (x) = 0 \sec (x)$

Etapa 12

Multiplique $0$ por $\sec (x)$ .

$\sqrt{3} - \tan (x) = 0$

Etapa 13

Subtraia $\sqrt{3}$ dos dois lados da equação.

$- \tan (x) = - \sqrt{3}$

Etapa 14

Divida cada termo em $- \tan (x) = - \sqrt{3}$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 14.1

Divida cada termo em $- \tan (x) = - \sqrt{3}$ por $- 1$ .

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{- \sqrt{3}}{- 1}$

Etapa 14.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 14.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{- \sqrt{3}}{- 1}$

Etapa 14.2.2

Divida $\tan (x)$ por $1$ .

$\tan (x) = \frac{- \sqrt{3}}{- 1}$

Etapa 14.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 14.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{1}$

Etapa 14.3.2

Divida $\sqrt{3}$ por $1$ .

$\tan (x) = \sqrt{3}$

Etapa 15

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da tangente.

$x = \arctan (\sqrt{3})$

Etapa 16

Simplifique o lado direito.

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Etapa 16.1

O valor exato de $\arctan (\sqrt{3})$ é $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Etapa 17

A função da tangente é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, some o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = π + \frac{π}{3}$

Etapa 18

Simplifique $π + \frac{π}{3}$ .

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Etapa 18.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$x = π \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

Etapa 18.2

Combine frações.

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Etapa 18.2.1

Combine $π$ e $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{3} + \frac{π}{3}$

Etapa 18.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{π \cdot 3 + π}{3}$

Etapa 18.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 18.3.1

Mova $3$ para a esquerda de $π$ .

$x = \frac{3 \cdot π + π}{3}$

Etapa 18.3.2

Some $3 π$ e $π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Etapa 19

A solução para a equação $x = \frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}, \frac{4 π}{3}$

Etapa 20

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{π}{3}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- \sqrt{3} \sin (\frac{π}{3}) - \cos (\frac{π}{3})$

Etapa 21

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 21.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 21.1.1

O valor exato de $\sin (\frac{π}{3})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \sqrt{3} \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (\frac{π}{3})$

Etapa 21.1.2

Multiplique $- \sqrt{3} \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Etapa 21.1.2.1

Combine $\frac{\sqrt{3}}{2}$ e $\sqrt{3}$ .

$- \frac{\sqrt{3} \sqrt{3}}{2} - \cos (\frac{π}{3})$

Etapa 21.1.2.2

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$- \frac{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{2} - \cos (\frac{π}{3})$

Etapa 21.1.2.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$- \frac{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{2} - \cos (\frac{π}{3})$

Etapa 21.1.2.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}{2} - \cos (\frac{π}{3})$

Etapa 21.1.2.5

Some $1$ e $1$ .

$- \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2} - \cos (\frac{π}{3})$

Etapa 21.1.3

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Etapa 21.1.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2} - \cos (\frac{π}{3})$

Etapa 21.1.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2} - \cos (\frac{π}{3})$

Etapa 21.1.3.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$- \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2} - \cos (\frac{π}{3})$

Etapa 21.1.3.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 21.1.3.4.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2} - \cos (\frac{π}{3})$

Etapa 21.1.3.4.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{3^{1}}{2} - \cos (\frac{π}{3})$

Etapa 21.1.3.5

Avalie o expoente.

$- \frac{3}{2} - \cos (\frac{π}{3})$

Etapa 21.1.4

O valor exato de $\cos (\frac{π}{3})$ é $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{3}{2} - \frac{1}{2}$

Etapa 21.2

Combine frações.

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Etapa 21.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 3 - 1}{2}$

Etapa 21.2.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 21.2.2.1

Subtraia $1$ de $- 3$ .

$\frac{- 4}{2}$

Etapa 21.2.2.2

Divida $- 4$ por $2$ .

$- 2$

Etapa 22

$x = \frac{π}{3}$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{π}{3}$ é um máximo local

Etapa 23

Encontre o valor y quando $x = \frac{π}{3}$ .

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Etapa 23.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{π}{3}$ na expressão.

$f (\frac{π}{3}) = \sqrt{3} \sin (\frac{π}{3}) + \cos (\frac{π}{3})$

Etapa 23.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 23.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 23.2.1.1

O valor exato de $\sin (\frac{π}{3})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \sqrt{3} (\frac{\sqrt{3}}{2}) + \cos (\frac{π}{3})$

Etapa 23.2.1.2

Multiplique $\sqrt{3} \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Etapa 23.2.1.2.1

Combine $\sqrt{3}$ e $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{3}}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

Etapa 23.2.1.2.2

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{3}}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

Etapa 23.2.1.2.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{3}}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

Etapa 23.2.1.2.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

Etapa 23.2.1.2.5

Some $1$ e $1$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

Etapa 23.2.1.3

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Etapa 23.2.1.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

Etapa 23.2.1.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

Etapa 23.2.1.3.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

Etapa 23.2.1.3.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 23.2.1.3.4.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

Etapa 23.2.1.3.4.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

Etapa 23.2.1.3.5

Avalie o expoente.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

Etapa 23.2.1.4

O valor exato de $\cos (\frac{π}{3})$ é $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3}{2} + \frac{1}{2}$

Etapa 23.2.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 23.2.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3 + 1}{2}$

Etapa 23.2.2.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 23.2.2.2.1

Some $3$ e $1$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{4}{2}$

Etapa 23.2.2.2.2

Divida $4$ por $2$ .

$f (\frac{π}{3}) = 2$

Etapa 23.2.3

A resposta final é $2$ .

$y = 2$

Etapa 24

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{4 π}{3}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- \sqrt{3} \sin (\frac{4 π}{3}) - \cos (\frac{4 π}{3})$

Etapa 25

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 25.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 25.1.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no terceiro quadrante.

$- \sqrt{3} (- \sin (\frac{π}{3})) - \cos (\frac{4 π}{3})$

Etapa 25.1.2

O valor exato de $\sin (\frac{π}{3})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \sqrt{3} (- \frac{\sqrt{3}}{2}) - \cos (\frac{4 π}{3})$

Etapa 25.1.3

Multiplique $- \sqrt{3} (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ .

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Etapa 25.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 \sqrt{3} \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (\frac{4 π}{3})$

Etapa 25.1.3.2

Multiplique $\sqrt{3}$ por $1$ .

$\sqrt{3} \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (\frac{4 π}{3})$

Etapa 25.1.3.3

Combine $\sqrt{3}$ e $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{3}}{2} - \cos (\frac{4 π}{3})$

Etapa 25.1.3.4

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\frac{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{2} - \cos (\frac{4 π}{3})$

Etapa 25.1.3.5

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\frac{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{2} - \cos (\frac{4 π}{3})$

Etapa 25.1.3.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}{2} - \cos (\frac{4 π}{3})$

Etapa 25.1.3.7

Some $1$ e $1$ .

$\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2} - \cos (\frac{4 π}{3})$

Etapa 25.1.4

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 25.1.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2} - \cos (\frac{4 π}{3})$

Etapa 25.1.4.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2} - \cos (\frac{4 π}{3})$

Etapa 25.1.4.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2} - \cos (\frac{4 π}{3})$

Etapa 25.1.4.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 25.1.4.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2} - \cos (\frac{4 π}{3})$

Etapa 25.1.4.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{3^{1}}{2} - \cos (\frac{4 π}{3})$

Etapa 25.1.4.5

Avalie o expoente.

$\frac{3}{2} - \cos (\frac{4 π}{3})$

Etapa 25.1.5

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no terceiro quadrante.

$\frac{3}{2} - - \cos (\frac{π}{3})$

Etapa 25.1.6

O valor exato de $\cos (\frac{π}{3})$ é $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2} - - \frac{1}{2}$

Etapa 25.1.7

Multiplique $- - \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 25.1.7.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{3}{2} + 1 (\frac{1}{2})$

Etapa 25.1.7.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{3}{2} + \frac{1}{2}$

Etapa 25.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 25.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{3 + 1}{2}$

Etapa 25.2.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 25.2.2.1

Some $3$ e $1$ .

$\frac{4}{2}$

Etapa 25.2.2.2

Divida $4$ por $2$ .

$2$

Etapa 26

$x = \frac{4 π}{3}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{4 π}{3}$ é um mínimo local

Etapa 27

Encontre o valor y quando $x = \frac{4 π}{3}$ .

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Etapa 27.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{4 π}{3}$ na expressão.

$f (\frac{4 π}{3}) = \sqrt{3} \sin (\frac{4 π}{3}) + \cos (\frac{4 π}{3})$

Etapa 27.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 27.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 27.2.1.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no terceiro quadrante.

$f (\frac{4 π}{3}) = \sqrt{3} (- \sin (\frac{π}{3})) + \cos (\frac{4 π}{3})$

Etapa 27.2.1.2

O valor exato de $\sin (\frac{π}{3})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = \sqrt{3} (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + \cos (\frac{4 π}{3})$

Etapa 27.2.1.3

Multiplique $\sqrt{3} (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 27.2.1.3.1

Combine $\sqrt{3}$ e $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{3}}{2} + \cos (\frac{4 π}{3})$

Etapa 27.2.1.3.2

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{3}}{2} + \cos (\frac{4 π}{3})$

Etapa 27.2.1.3.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{3}}{2} + \cos (\frac{4 π}{3})$

Etapa 27.2.1.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (\frac{4 π}{3}) = - \frac{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}{2} + \cos (\frac{4 π}{3})$

Etapa 27.2.1.3.5

Some $1$ e $1$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2} + \cos (\frac{4 π}{3})$

Etapa 27.2.1.4

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 27.2.1.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2} + \cos (\frac{4 π}{3})$

Etapa 27.2.1.4.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2} + \cos (\frac{4 π}{3})$

Etapa 27.2.1.4.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2} + \cos (\frac{4 π}{3})$

Etapa 27.2.1.4.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 27.2.1.4.4.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{4 π}{3}) = - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2} + \cos (\frac{4 π}{3})$

Etapa 27.2.1.4.4.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{4 π}{3}) = - \frac{3}{2} + \cos (\frac{4 π}{3})$

Etapa 27.2.1.4.5

Avalie o expoente.

$f (\frac{4 π}{3}) = - \frac{3}{2} + \cos (\frac{4 π}{3})$

Etapa 27.2.1.5

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no terceiro quadrante.

$f (\frac{4 π}{3}) = - \frac{3}{2} - \cos (\frac{π}{3})$

Etapa 27.2.1.6

O valor exato de $\cos (\frac{π}{3})$ é $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - \frac{3}{2} - \frac{1}{2}$

Etapa 27.2.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 27.2.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{- 3 - 1}{2}$

Etapa 27.2.2.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 27.2.2.2.1

Subtraia $1$ de $- 3$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{- 4}{2}$

Etapa 27.2.2.2.2

Divida $- 4$ por $2$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - 2$

Etapa 27.2.3

A resposta final é $- 2$ .

$y = - 2$

Etapa 28

Esses são os extremos locais para $f (x) = \sqrt{3} \sin (x) + \cos (x)$ .

$(\frac{π}{3}, 2)$ é um máximo local

$(\frac{4 π}{3}, - 2)$ é um mínimo local

Etapa 29