Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} - x^{2}}{\ln (x)}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 1} \sqrt{x} - x^{2}}{lim_{x \to 1} \ln (x)}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} \sqrt{x} - lim_{x \to 1} x^{2}}{lim_{x \to 1} \ln (x)}$

Etapa 1.1.2.2

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 1} x} - lim_{x \to 1} x^{2}}{lim_{x \to 1} \ln (x)}$

Etapa 1.1.2.3

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 1} x} - {(lim_{x \to 1} x)}^{2}}{lim_{x \to 1} \ln (x)}$

Etapa 1.1.2.4

Avalie os limites substituindo $1$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.1.2.4.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{\sqrt{1} - {(lim_{x \to 1} x)}^{2}}{lim_{x \to 1} \ln (x)}$

Etapa 1.1.2.4.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{\sqrt{1} - 1^{2}}{lim_{x \to 1} \ln (x)}$

Etapa 1.1.2.5

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.2.5.1.1

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$\frac{1 - 1^{2}}{lim_{x \to 1} \ln (x)}$

Etapa 1.1.2.5.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} \ln (x)}$

Etapa 1.1.2.5.1.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 1} \ln (x)}$

Etapa 1.1.2.5.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} \ln (x)}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Mova o limite para dentro do logaritmo.

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 1} x)}$

Etapa 1.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{0}{\ln (1)}$

Etapa 1.1.3.3

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} - x^{2}}{\ln (x)} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sqrt{x} - x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Etapa 1.3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

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Etapa 1.3.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Etapa 1.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Etapa 1.3.3.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Etapa 1.3.3.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Etapa 1.3.3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Etapa 1.3.3.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.3.3.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Etapa 1.3.3.6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Etapa 1.3.3.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Etapa 1.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Etapa 1.3.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Etapa 1.3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (2 x)}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Etapa 1.3.4.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - 2 x}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Etapa 1.3.5

Simplifique.

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Etapa 1.3.5.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 2 x}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Etapa 1.3.5.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 x}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Etapa 1.3.5.3

Reordene os termos.

$lim_{x \to 1} \frac{- 2 x + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Etapa 1.3.6

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 2 x + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{x}}$

Etapa 1.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to 1} (- 2 x + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x$

Etapa 1.5

Reescreva $x^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to 1} (- 2 x + \frac{1}{2 \sqrt{x}}) x$

Etapa 1.6

Combine os termos.

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Etapa 1.6.1

Para escrever $- 2 x$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2 \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}}$ .

$lim_{x \to 1} (- 2 x \cdot \frac{2 \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}} + \frac{1}{2 \sqrt{x}}) x$

Etapa 1.6.2

Combine $- 2 x$ e $\frac{2 \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}}$ .

$lim_{x \to 1} (\frac{- 2 x (2 \sqrt{x})}{2 \sqrt{x}} + \frac{1}{2 \sqrt{x}}) x$

Etapa 1.6.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to 1} \frac{- 2 x (2 \sqrt{x}) + 1}{2 \sqrt{x}} x$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 2 x (2 \sqrt{x}) + 1}{2 \sqrt{x}} \cdot lim_{x \to 1} x$

Etapa 2.2

Mova o termo $\frac{1}{2}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 1} \frac{- 2 x (2 \sqrt{x}) + 1}{\sqrt{x}} \cdot lim_{x \to 1} x$

Etapa 2.3

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} - 2 x \cdot 2 \sqrt{x} + 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}} \cdot lim_{x \to 1} x$

Etapa 2.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- lim_{x \to 1} 2 x \cdot 2 \sqrt{x} + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}} \cdot lim_{x \to 1} x$

Etapa 2.5

Mova o termo $2 \cdot 2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 \cdot 2 \cdot 2 lim_{x \to 1} x \sqrt{x} + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}} \cdot lim_{x \to 1} x$

Etapa 2.6

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 \cdot 2 \cdot 2 lim_{x \to 1} x \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x} + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}} \cdot lim_{x \to 1} x$

Etapa 2.7

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 \cdot 2 \cdot 2 lim_{x \to 1} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}} \cdot lim_{x \to 1} x$

Etapa 2.8

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 \cdot 2 \cdot 2 lim_{x \to 1} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} + 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}} \cdot lim_{x \to 1} x$

Etapa 2.9

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 \cdot 2 \cdot 2 lim_{x \to 1} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} + 1}{\sqrt{lim_{x \to 1} x}} \cdot lim_{x \to 1} x$

Etapa 3

Avalie os limites substituindo $1$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 3.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} + 1}{\sqrt{lim_{x \to 1} x}} \cdot lim_{x \to 1} x$

Etapa 3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{1} + 1}{\sqrt{lim_{x \to 1} x}} \cdot lim_{x \to 1} x$

Etapa 3.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{1} + 1}{\sqrt{1}} \cdot lim_{x \to 1} x$

Etapa 3.4

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{1} + 1}{\sqrt{1}} \cdot 1$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.1

Multiplique $- 1 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 1$ .

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Etapa 4.1.1.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{1} + 1}{\sqrt{1}} \cdot 1$

Etapa 4.1.1.2

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 4 \cdot 1 \cdot \sqrt{1} + 1}{\sqrt{1}} \cdot 1$

Etapa 4.1.1.3

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 4 \cdot \sqrt{1} + 1}{\sqrt{1}} \cdot 1$

Etapa 4.1.2

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 4 \cdot 1 + 1}{\sqrt{1}} \cdot 1$

Etapa 4.1.3

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 4 + 1}{\sqrt{1}} \cdot 1$

Etapa 4.1.4

Some $- 4$ e $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3}{\sqrt{1}} \cdot 1$

Etapa 4.2

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3}{1} \cdot 1$

Etapa 4.3

Divida $- 3$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot - 3 \cdot 1$

Etapa 4.4

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 3$ .

$\frac{- 3}{2} \cdot 1$

Etapa 4.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{3}{2} \cdot 1$

Etapa 4.6

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- \frac{3}{2}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{3}{2}$

Forma decimal:

$- 1.5$