Cálculo Exemplos

$\int_{1}^{2} \frac{x^{2} - x - 5}{x + 2} d x$

Etapa 1

Divida $x^{2} - x - 5$ por $x + 2$ .

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Etapa 1.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$2$

$x^{2}$

$x$

$5$

Etapa 1.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$x$
	$x$	+	$2$		$x^{2}$	-	$x$	-	$5$

Etapa 1.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	-	$x$	-	$5$
			+	$x^{2}$	+	$2 x$

Etapa 1.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{2} + 2 x$ .

				$x$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	-	$x$	-	$5$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$

Etapa 1.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	-	$x$	-	$5$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$3 x$

Etapa 1.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	-	$x$	-	$5$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$3 x$	-	$5$

Etapa 1.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 3 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x$	-	$3$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	-	$x$	-	$5$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$3 x$	-	$5$

Etapa 1.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x$	-	$3$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	-	$x$	-	$5$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$3 x$	-	$5$
					-	$3 x$	-	$6$

Etapa 1.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 3 x - 6$ .

				$x$	-	$3$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	-	$x$	-	$5$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$3 x$	-	$5$
					+	$3 x$	+	$6$

Etapa 1.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x$	-	$3$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	-	$x$	-	$5$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$3 x$	-	$5$
					+	$3 x$	+	$6$
							+	$1$

Etapa 1.11

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$\int_{1}^{2} x - 3 + \frac{1}{x + 2} d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{1}^{2} x d x + \int_{1}^{2} - 3 d x + \int_{1}^{2} \frac{1}{x + 2} d x$

Etapa 3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} - 3 d x + \int_{1}^{2} \frac{1}{x + 2} d x$

Etapa 4

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2} + - 3 x]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} \frac{1}{x + 2} d x$

Etapa 5

Deixe $u = x + 2$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 5.1

Deixe $u = x + 2$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 5.1.1

Diferencie $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Etapa 5.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 5.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 5.1.4

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 5.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 5.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = x + 2$ .

$u_{lower} = 1 + 2$

Etapa 5.3

Some $1$ e $2$ .

$u_{lower} = 3$

Etapa 5.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = x + 2$ .

$u_{upper} = 2 + 2$

Etapa 5.5

Some $2$ e $2$ .

$u_{upper} = 4$

Etapa 5.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 3$

$u_{upper} = 4$

Etapa 5.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2} + - 3 x]_{1}^{2} + \int_{3}^{4} \frac{1}{u} d u$

Etapa 6

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2} + - 3 x]_{1}^{2} + \ln (| u |)]_{3}^{4}$

Etapa 7

Combine $\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2}$ e $- 3 x]_{1}^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} - 3 x]_{1}^{2} + \ln (| u |)]_{3}^{4}$

Etapa 8

Substitua e simplifique.

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Etapa 8.1

Avalie $\frac{1}{2} x^{2} - 3 x$ em $2$ e em $1$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 3 \cdot 2) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 3 \cdot 1) + \ln (| u |)]_{3}^{4}$

Etapa 8.2

Avalie $\ln (| u |)$ em $4$ e em $3$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 3 \cdot 2) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 3 \cdot 1) + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Etapa 8.3

Simplifique.

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Etapa 8.3.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 4 - 3 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 3 \cdot 1) + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Etapa 8.3.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $4$ .

$\frac{4}{2} - 3 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 3 \cdot 1) + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Etapa 8.3.3

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

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Etapa 8.3.3.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} - 3 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 3 \cdot 1) + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Etapa 8.3.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 8.3.3.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - 3 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 3 \cdot 1) + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Etapa 8.3.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - 3 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 3 \cdot 1) + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Etapa 8.3.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2}{1} - 3 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 3 \cdot 1) + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Etapa 8.3.3.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$2 - 3 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 3 \cdot 1) + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Etapa 8.3.4

Multiplique $- 3$ por $2$ .

$2 - 6 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 3 \cdot 1) + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Etapa 8.3.5

Subtraia $6$ de $2$ .

$- 4 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 3 \cdot 1) + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Etapa 8.3.6

Um elevado a qualquer potência é um.

$- 4 - (\frac{1}{2} \cdot 1 - 3 \cdot 1) + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Etapa 8.3.7

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$- 4 - (\frac{1}{2} - 3 \cdot 1) + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Etapa 8.3.8

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$- 4 - (\frac{1}{2} - 3) + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Etapa 8.3.9

Para escrever $- 3$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$- 4 - (\frac{1}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2}) + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Etapa 8.3.10

Combine $- 3$ e $\frac{2}{2}$ .

$- 4 - (\frac{1}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2}) + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Etapa 8.3.11

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- 4 - \frac{1 - 3 \cdot 2}{2} + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Etapa 8.3.12

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.3.12.1

Multiplique $- 3$ por $2$ .

$- 4 - \frac{1 - 6}{2} + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Etapa 8.3.12.2

Subtraia $6$ de $1$ .

$- 4 - \frac{- 5}{2} + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Etapa 8.3.13

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- 4 - - \frac{5}{2} + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Etapa 8.3.14

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- 4 + 1 (\frac{5}{2}) + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Etapa 8.3.15

Multiplique $\frac{5}{2}$ por $1$ .

$- 4 + \frac{5}{2} + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Etapa 8.3.16

Para escrever $- 4$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$- 4 \cdot \frac{2}{2} + \frac{5}{2} + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Etapa 8.3.17

Combine $- 4$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 4 \cdot 2}{2} + \frac{5}{2} + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Etapa 8.3.18

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 4 \cdot 2 + 5}{2} + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Etapa 8.3.19

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.3.19.1

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$\frac{- 8 + 5}{2} + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Etapa 8.3.19.2

Some $- 8$ e $5$ .

$\frac{- 3}{2} + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Etapa 8.3.20

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{3}{2} + \ln (| 4 |) - \ln (| 3 |)$

Etapa 9

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- \frac{3}{2} + \ln (\frac{| 4 |}{| 3 |})$

Etapa 10

Simplifique.

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Etapa 10.1

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $4$ é $4$ .

$- \frac{3}{2} + \ln (\frac{4}{| 3 |})$

Etapa 10.2

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $3$ é $3$ .

$- \frac{3}{2} + \ln (\frac{4}{3})$

Etapa 11

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{3}{2} + \ln (\frac{4}{3})$

Forma decimal:

$- 1.21231792 \dots$

Etapa 12