Cálculo Exemplos

${(2 + e^{3 x})}^{2}$

Etapa 1

Escreva ${(2 + e^{3 x})}^{2}$ como uma função.

$f (x) = {(2 + e^{3 x})}^{2}$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int {(2 + e^{3 x})}^{2} d x$

Etapa 4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Reescreva ${(2 + e^{3 x})}^{2}$ como $(2 + e^{3 x}) (2 + e^{3 x})$ .

$\int (2 + e^{3 x}) (2 + e^{3 x}) d x$

Etapa 4.2

Expanda $(2 + e^{3 x}) (2 + e^{3 x})$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\int 2 (2 + e^{3 x}) + e^{3 x} (2 + e^{3 x}) d x$

Etapa 4.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\int 2 \cdot 2 + 2 e^{3 x} + e^{3 x} (2 + e^{3 x}) d x$

Etapa 4.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\int 2 \cdot 2 + 2 e^{3 x} + e^{3 x} \cdot 2 + e^{3 x} e^{3 x} d x$

Etapa 4.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$\int 4 + 2 e^{3 x} + e^{3 x} \cdot 2 + e^{3 x} e^{3 x} d x$

Etapa 4.3.1.2

Mova $2$ para a esquerda de $e^{3 x}$ .

$\int 4 + 2 e^{3 x} + 2 \cdot e^{3 x} + e^{3 x} e^{3 x} d x$

Etapa 4.3.1.3

Multiplique $e^{3 x}$ por $e^{3 x}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.3.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int 4 + 2 e^{3 x} + 2 e^{3 x} + e^{3 x + 3 x} d x$

Etapa 4.3.1.3.2

Some $3 x$ e $3 x$ .

$\int 4 + 2 e^{3 x} + 2 e^{3 x} + e^{6 x} d x$

Etapa 4.3.2

Some $2 e^{3 x}$ e $2 e^{3 x}$ .

$\int 4 + 4 e^{3 x} + e^{6 x} d x$

Etapa 5

Divida a integral única em várias integrais.

$\int 4 d x + \int 4 e^{3 x} d x + \int e^{6 x} d x$

Etapa 6

Aplique a regra da constante.

$4 x + C + \int 4 e^{3 x} d x + \int e^{6 x} d x$

Etapa 7

Como $4$ é constante com relação a $x$ , mova $4$ para fora da integral.

$4 x + C + 4 \int e^{3 x} d x + \int e^{6 x} d x$

Etapa 8

Deixe $u_{1} = 3 x$ . Depois, $d u_{1} = 3 d x$ , então, $\frac{1}{3} d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Deixe $u_{1} = 3 x$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.1

Diferencie $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Etapa 8.1.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 8.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Etapa 8.1.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$3$

Etapa 8.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$4 x + C + 4 \int e^{u_{1}} \frac{1}{3} d u_{1} + \int e^{6 x} d x$

Etapa 9

Combine $e^{u_{1}}$ e $\frac{1}{3}$ .

$4 x + C + 4 \int \frac{e^{u_{1}}}{3} d u_{1} + \int e^{6 x} d x$

Etapa 10

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$4 x + C + 4 (\frac{1}{3} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int e^{6 x} d x$

Etapa 11

Combine $\frac{1}{3}$ e $4$ .

$4 x + C + \frac{4}{3} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int e^{6 x} d x$

Etapa 12

A integral de $e^{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $e^{u_{1}}$ .

$4 x + C + \frac{4}{3} (e^{u_{1}} + C) + \int e^{6 x} d x$

Etapa 13

Deixe $u_{2} = 6 x$ . Depois, $d u_{2} = 6 d x$ , então, $\frac{1}{6} d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Deixe $u_{2} = 6 x$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1

Diferencie $6 x$ .

$\frac{d}{d x} [6 x]$

Etapa 13.1.2

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 13.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$6 \cdot 1$

Etapa 13.1.4

Multiplique $6$ por $1$ .

$6$

Etapa 13.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$4 x + C + \frac{4}{3} (e^{u_{1}} + C) + \int e^{u_{2}} \frac{1}{6} d u_{2}$

Etapa 14

Combine $e^{u_{2}}$ e $\frac{1}{6}$ .

$4 x + C + \frac{4}{3} (e^{u_{1}} + C) + \int \frac{e^{u_{2}}}{6} d u_{2}$

Etapa 15

Como $\frac{1}{6}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{6}$ para fora da integral.

$4 x + C + \frac{4}{3} (e^{u_{1}} + C) + \frac{1}{6} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 16

A integral de $e^{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $e^{u_{2}}$ .

$4 x + C + \frac{4}{3} (e^{u_{1}} + C) + \frac{1}{6} (e^{u_{2}} + C)$

Etapa 17

Simplifique.

$4 x + \frac{4}{3} e^{u_{1}} + \frac{1}{6} e^{u_{2}} + C$

Etapa 18

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $3 x$ .

$4 x + \frac{4}{3} e^{3 x} + \frac{1}{6} e^{u_{2}} + C$

Etapa 18.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $6 x$ .

$4 x + \frac{4}{3} e^{3 x} + \frac{1}{6} e^{6 x} + C$

Etapa 19

A resposta é a primitiva da função $f (x) = {(2 + e^{3 x})}^{2}$ .

$F (x) =$ $4 x + \frac{4}{3} e^{3 x} + \frac{1}{6} e^{6 x} + C$