Cálculo Exemplos

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{2 x^{2}} d x$

Etapa 1

Escreva a integral como um limite à medida que $t$ se aproxima de $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{2 x^{2}} d x$

Etapa 2

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{1}^{t} \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 3

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 3.1

Mova $x^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{1}^{t} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Etapa 3.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 3.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{1}^{t} x^{2 \cdot - 1} d x$

Etapa 3.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{1}^{t} x^{- 2} d x$

Etapa 4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 2}$ com relação a $x$ é $- x^{- 1}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} - x^{- 1}]_{1}^{t}$

Etapa 5

Simplifique a resposta.

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Etapa 5.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $- x^{- 1}]_{1}^{t}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- x^{- 1}]_{1}^{t}}{2}$

Etapa 5.2

Substitua e simplifique.

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Etapa 5.2.1

Avalie $- x^{- 1}$ em $t$ e em $1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{(- t^{- 1}) + 1^{- 1}}{2}$

Etapa 5.2.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$lim_{t \to \infty} \frac{- t^{- 1} + 1}{2}$

Etapa 5.3

Simplifique.

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Etapa 5.3.1

Fatore $- 1$ de $- t^{- 1}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- (t^{- 1}) + 1}{2}$

Etapa 5.3.2

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- (t^{- 1}) - 1 (- 1)}{2}$

Etapa 5.3.3

Fatore $- 1$ de $- (t^{- 1}) - 1 (- 1)$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- (t^{- 1} - 1)}{2}$

Etapa 5.3.4

Reescreva $- (t^{- 1} - 1)$ como $- 1 (t^{- 1} - 1)$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- 1 (t^{- 1} - 1)}{2}$

Etapa 5.3.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{t \to \infty} - \frac{t^{- 1} - 1}{2}$

Etapa 6

Avalie o limite.

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Etapa 6.1

Mova o termo $- 1$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $t$ .

$- lim_{t \to \infty} \frac{t^{- 1} - 1}{2}$

Etapa 6.2

Mova o termo $\frac{1}{2}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $t$ .

$- \frac{1}{2} lim_{t \to \infty} t^{- 1} - 1$

Etapa 6.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $t$ se aproxima de $\infty$ .

$- \frac{1}{2} (lim_{t \to \infty} t^{- 1} - lim_{t \to \infty} 1)$

Etapa 6.4

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2} (lim_{t \to \infty} \frac{1}{t} - lim_{t \to \infty} 1)$

Etapa 6.5

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{t}$ se aproxima de $0$ .

$- \frac{1}{2} (0 - lim_{t \to \infty} 1)$

Etapa 6.6

Avalie o limite.

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Etapa 6.6.1

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $t$ se aproxima de $\infty$ .

$- \frac{1}{2} (0 - 1 \cdot 1)$

Etapa 6.6.2

Simplifique a resposta.

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Etapa 6.6.2.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- \frac{1}{2} (0 - 1)$

Etapa 6.6.2.2

Subtraia $1$ de $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot - 1$

Etapa 6.6.2.3

Multiplique $- \frac{1}{2} \cdot - 1$ .

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Etapa 6.6.2.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 (\frac{1}{2})$

Etapa 6.6.2.3.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2}$

Etapa 7

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{1}{2}$

Forma decimal:

$0.5$