Cálculo Exemplos

$2 y e^{x} - y \cos (2 x y)$

Etapa 1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 y e^{x} - y \cos (2 x y)$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [2 y e^{x}] + \frac{d}{d y} [- y \cos (2 x y)]$ .

$\frac{d}{d y} [2 y e^{x}] + \frac{d}{d y} [- y \cos (2 x y)]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d y} [2 y e^{x}]$ .

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Etapa 2.1

Como $2 e^{x}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2 y e^{x}$ em relação a $y$ é $2 e^{x} \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 e^{x} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- y \cos (2 x y)]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- y \cos (2 x y)]$

Etapa 2.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 e^{x} + \frac{d}{d y} [- y \cos (2 x y)]$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d y} [- y \cos (2 x y)]$ .

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Etapa 3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- y \cos (2 x y)$ em relação a $y$ é $- \frac{d}{d y} [y \cos (2 x y)]$ .

$2 e^{x} - \frac{d}{d y} [y \cos (2 x y)]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ é $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , em que $f (y) = y$ e $g (y) = \cos (2 x y)$ .

$2 e^{x} - (y \frac{d}{d y} [\cos (2 x y)] + \cos (2 x y) \frac{d}{d y} [y])$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = \cos (y)$ e $g (y) = 2 x y$ .

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Etapa 3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x y$ .

$2 e^{x} - (y (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d y} [2 x y]) + \cos (2 x y) \frac{d}{d y} [y])$

Etapa 3.3.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$2 e^{x} - (y (- \sin (u) \frac{d}{d y} [2 x y]) + \cos (2 x y) \frac{d}{d y} [y])$

Etapa 3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x y$ .

$2 e^{x} - (y (- \sin (2 x y) \frac{d}{d y} [2 x y]) + \cos (2 x y) \frac{d}{d y} [y])$

Etapa 3.4

Como $2 x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2 x y$ em relação a $y$ é $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 e^{x} - (y (- \sin (2 x y) (2 x \frac{d}{d y} [y])) + \cos (2 x y) \frac{d}{d y} [y])$

Etapa 3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 e^{x} - (y (- \sin (2 x y) (2 x \cdot 1)) + \cos (2 x y) \frac{d}{d y} [y])$

Etapa 3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 e^{x} - (y (- \sin (2 x y) (2 x \cdot 1)) + \cos (2 x y) \cdot 1)$

Etapa 3.7

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 e^{x} - (y (- \sin (2 x y) (2 x)) + \cos (2 x y) \cdot 1)$

Etapa 3.8

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$2 e^{x} - (y (- 2 \sin (2 x y) x) + \cos (2 x y) \cdot 1)$

Etapa 3.9

Multiplique $\cos (2 x y)$ por $1$ .

$2 e^{x} - (y (- 2 \sin (2 x y) x) + \cos (2 x y))$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 e^{x} - (y (- 2 \sin (2 x y) x)) - \cos (2 x y)$

Etapa 4.2

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$2 e^{x} + 2 y (\sin (2 x y) x) - \cos (2 x y)$

Etapa 4.3

Reordene os termos.

$2 x y \sin (2 x y) + 2 e^{x} - \cos (2 x y)$