Cálculo Exemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{{(2 x + 1)}^{40} {(4 x - 1)}^{5}}{{(2 x + 3)}^{45}}$

Etapa 1

Divida o numerador e o denominador pela potência mais alta de $x$ no denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{{(\frac{2 x}{x} + \frac{1}{x})}^{40} {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{5}}{{(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{45}}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{1}{x})}^{40} {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{5}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{45}}$

Etapa 2.2

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{1}{x})}^{40} \cdot lim_{x \to \infty} {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{5}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{45}}$

Etapa 2.3

Mova o expoente $40$ de ${(\frac{2 x}{x} + \frac{1}{x})}^{40}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{{(lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{x} + \frac{1}{x})}^{40} \cdot lim_{x \to \infty} {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{5}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{45}}$

Etapa 2.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{{(lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{40} \cdot lim_{x \to \infty} {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{5}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{45}}$

Etapa 2.5

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{{(2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{40} \cdot lim_{x \to \infty} {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{5}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{45}}$

Etapa 2.6

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 2.6.1

Cancele o fator comum.

Etapa 2.6.2

Reescreva a expressão.

$\frac{{(2 lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{40} \cdot lim_{x \to \infty} {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{5}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{45}}$

Etapa 2.7

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{{(2 \cdot 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{40} \cdot lim_{x \to \infty} {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{5}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{45}}$

Etapa 3

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{{(2 \cdot 1 + 0)}^{40} \cdot lim_{x \to \infty} {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{5}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{45}}$

Etapa 4

Avalie o limite.

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Etapa 4.1

Mova o expoente $5$ de ${(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{5}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{{(2 \cdot 1 + 0)}^{40} \cdot {(lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{5}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{45}}$

Etapa 4.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{{(2 \cdot 1 + 0)}^{40} \cdot {(lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{5}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{45}}$

Etapa 4.3

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{{(2 \cdot 1 + 0)}^{40} \cdot {(4 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{5}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{45}}$

Etapa 4.4

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 4.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{{(2 \cdot 1 + 0)}^{40} \cdot {(4 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{5}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{45}}$

Etapa 4.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{{(2 \cdot 1 + 0)}^{40} \cdot {(4 lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{5}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{45}}$

Etapa 4.5

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{{(2 \cdot 1 + 0)}^{40} \cdot {(4 \cdot 1 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{5}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{45}}$

Etapa 5

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{{(2 \cdot 1 + 0)}^{40} \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{5}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{45}}$

Etapa 6

Avalie o limite.

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Etapa 6.1

Mova o expoente $45$ de ${(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{45}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{{(2 \cdot 1 + 0)}^{40} \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{5}}{{(lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{45}}$

Etapa 6.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{{(2 \cdot 1 + 0)}^{40} \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{5}}{{(lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x})}^{45}}$

Etapa 6.3

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{{(2 \cdot 1 + 0)}^{40} \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{5}}{{(2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x})}^{45}}$

Etapa 6.4

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{{(2 \cdot 1 + 0)}^{40} \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{5}}{{(2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x})}^{45}}$

Etapa 6.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{{(2 \cdot 1 + 0)}^{40} \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{5}}{{(2 lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x})}^{45}}$

Etapa 6.5

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{{(2 \cdot 1 + 0)}^{40} \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{5}}{{(2 \cdot 1 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x})}^{45}}$

Etapa 6.6

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{{(2 \cdot 1 + 0)}^{40} \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{5}}{{(2 \cdot 1 + 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{45}}$

Etapa 7

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{{(2 \cdot 1 + 0)}^{40} \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{5}}{{(2 \cdot 1 + 3 \cdot 0)}^{45}}$

Etapa 8

Simplifique a resposta.

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Etapa 8.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.1.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{{(2 + 0)}^{40} {(4 \cdot 1 - 0)}^{5}}{{(2 \cdot 1 + 3 \cdot 0)}^{45}}$

Etapa 8.1.2

Some $2$ e $0$ .

$\frac{2^{40} {(4 \cdot 1 - 0)}^{5}}{{(2 \cdot 1 + 3 \cdot 0)}^{45}}$

Etapa 8.1.3

Multiplique $4$ por $1$ .

$\frac{2^{40} {(4 - 0)}^{5}}{{(2 \cdot 1 + 3 \cdot 0)}^{45}}$

Etapa 8.1.4

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{2^{40} {(4 + 0)}^{5}}{{(2 \cdot 1 + 3 \cdot 0)}^{45}}$

Etapa 8.1.5

Some $4$ e $0$ .

$\frac{2^{40} \cdot 4^{5}}{{(2 \cdot 1 + 3 \cdot 0)}^{45}}$

Etapa 8.1.6

Eleve $2$ à potência de $40$ .

$\frac{1099511627776 \cdot 4^{5}}{{(2 \cdot 1 + 3 \cdot 0)}^{45}}$

Etapa 8.1.7

Eleve $4$ à potência de $5$ .

$\frac{1099511627776 \cdot 1024}{{(2 \cdot 1 + 3 \cdot 0)}^{45}}$

Etapa 8.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 8.2.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{1099511627776 \cdot 1024}{{(2 + 3 \cdot 0)}^{45}}$

Etapa 8.2.2

Multiplique $3$ por $0$ .

$\frac{1099511627776 \cdot 1024}{{(2 + 0)}^{45}}$

Etapa 8.2.3

Some $2$ e $0$ .

$\frac{1099511627776 \cdot 1024}{2^{45}}$

Etapa 8.2.4

Eleve $2$ à potência de $45$ .

$\frac{1099511627776 \cdot 1024}{35184372088832}$

Etapa 8.3

Multiplique $1099511627776$ por $1024$ .

$\frac{1125899906842624}{35184372088832}$

Etapa 8.4

Divida $1125899906842624$ por $35184372088832$ .

$32$